Um caso em que a permutacao dos somatorios eh valida eh, simplesmente, se tivermos a_i_j >=0 para todos (i,j) em N^2. Neste caso, a permutacao eh valida mesmo se a serie dupla for divergente e as somas forem infinitas. Outro caso eh se tivermos as seguintes condicoes: Para todo i, Soma(j>=1) |a_i_j| = b_i, b_i em R, e Soma(i>=1) b_i for convergente Neste segundo caso, a serie dupla eh convergente e ateh mesmo absolutamente convergente. Para todo j, Soma(i>=1) tambem eh absolutamente comvergente. Uma forma facil de demosntrar estes fatos eh usar teoria de medidas. Ha, porem, outros processos. As condicoes citadas sao suficientes, mas naa necessarias. Suponhamos, por exemplo, que a_i_j = ((-1)^(i+1)/(i))*2^(1-j). Temos uma "matriz de dimensoes infinitas" assim 1 -1/2 1/3 -1/4................. 1/2 -1/4 1/6 -1/8..................... . . . Esta serie dupla nao se enquadra em nenhum dos 2 casos citados. Os termos alternam em sinal e as series das linhas sao absolutamente divergentes. As series das colunas sao abs. convergentes (series geometricas), mas os limites das series absolutas formam uma serie divergente. Entretanto, a soma infinita de cada cada linha converge para ln(2)*(2^(1-j)) e a serie dupla converge para 2*ln(2). Eh facil ver que a permutacao na ordem dos somas infinitas leva ao mesmo limite. Artur
> Bom dia a todos! > > Gostaria de saber se existe algum criterio que nos > permita permutar os somatorios em uma serie dupla, > isto e: > > se a_i_j, (i, j) em N^2, N ={1,2,3.....}, eh uma > sequencia dupla reais, em que casos eh verdade que > > Soma (i>=1) (Soma(j>=1) a_i_j = Soma (j>=1) > (Soma(i>=1) a_i_j > > Acho que, se para cada i a serie em j convergir > absolutamente, podemos permutar. > > Obrigada > Ana > > > > --------------------------------- > Yahoo! Mail > Use Photomail to share photos without annoying attachments. __________________________________________________ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================