o que é trivial já que p^2*p + q^2*q >= p^2*q + q^2*p pela desigualdade do
rearranjo.
Eu nunca ouvi falar dessa desigualdade, mas acho que
uma das formas de demonstrá-la
seria verificar todos os casos possíveis com p e q reais.
p^2*p + q^2*q >= p^2*q + q^2*p
p^2 (p-q) + q^2(q-p) >= 0
p^2 (p-q) >= q^2(p-q)
Exemplo:
Supondo p== q temos igualdade
OK.... pass
Supondo p > q , p>0, q>0 temos
p^2 > q^2
OK ... pass
Supondo q> p , p>0, q>0 ==> p-q < 0 e
p^2 > q^2 (trocando o sinal).
OK... pass
Os outros casos
(p>0,q<0 com p>q ), (p<0, q>0 com p>q ), (p<0,q<0 com p>q )
(p>0,q<0 com p<q), (p<0, q>0 com p<q), (p<0,q<0 com p<q)
são demonstrados de forma similares.
Eu sei que essa maneira de demonstrar via "compilação"
de todos os casos é meio "tosca", mas
será que não pode ser interessante em problemas muito difícieis?
Neste exemplo houve uma série de expansões de termos usando fatos
conhecidos.
Exemplo: Prove que 7(pq+qr+pr)<=2+9pqr.
7(p+q+r)(pq+qr+rp) <= 2(p+q+r)^3 + 9pqr
Note que 2 = 2.1 foi expandido.
Um provador automático de teoremas feito em Prolog, por exemplo
poderia fazer essas expansões.O problema seria ele saber
exatamente *o que* expandir. É exatamente aí que entra o desafio, o
sentimento e
a criatividade.
Uma vez estava conversando com um amigo meu que estava terminando seu
doutorado em análise.
Ele havia concordado comigo que na matemática tudo são fatos e regras
como na linguagem Prolog.
Para quem não conhece Prolog: http://en.wikipedia.org/wiki/Prolog
Então não era difícil construir provadores de teorema que pudessem
responder questões mais ou menos
simples via aplicação de regras. Mas há um problema: Cada axioma/hipótese
do teorema é uma regra e
cada teorema no banco de dados do programa é uma regra.
Se fôssemos usar a força bruta e aplicar
todas as regras indiscriminadamente isso iria gera uma explosão combinatória
de sentenças e dificilmente
chegaríamos a solução ou a conclusão da verdade/falsidade do teorema
chegando em regras atômicas que
por hipótese e/ou teoremas anteriores sabemos ser verdadeiras.
Claro que se soubéssemos quais regras expandir, não precisaríamos de
computador... como nesse exercício.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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