p^2*p + q^2*q >= p^2*q + q^2*p > p^2 (p-q) + q^2(q-p) >= 0 (p^2-q^2)(p-q) >=0 (p+q)(p-q)^2 >=0, verdade ja que p e q sao reais positivos
----- Original Message ----- From: "Ronaldo Luiz Alonso" <[EMAIL PROTECTED]> To: <obm-l@mat.puc-rio.br> Sent: Thursday, April 20, 2006 5:38 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade (divagando na solução). > > o que é trivial já que p^2*p + q^2*q >= p^2*q + q^2*p pela desigualdade do > > rearranjo. > > Eu nunca ouvi falar dessa desigualdade, mas acho que > uma das formas de demonstrá-la > seria verificar todos os casos possíveis com p e q reais. > > p^2*p + q^2*q >= p^2*q + q^2*p > p^2 (p-q) + q^2(q-p) >= 0 > p^2 (p-q) >= q^2(p-q) > > Exemplo: > > Supondo p== q temos igualdade > OK.... pass > Supondo p > q , p>0, q>0 temos > p^2 > q^2 > OK ... pass > Supondo q> p , p>0, q>0 ==> p-q < 0 e > p^2 > q^2 (trocando o sinal). > OK... pass > Os outros casos > (p>0,q<0 com p>q ), (p<0, q>0 com p>q ), (p<0,q<0 com p>q ) > (p>0,q<0 com p<q), (p<0, q>0 com p<q), (p<0,q<0 com p<q) > são demonstrados de forma similares. > > Eu sei que essa maneira de demonstrar via "compilação" > de todos os casos é meio "tosca", mas > será que não pode ser interessante em problemas muito difícieis? > > Neste exemplo houve uma série de expansões de termos usando fatos > conhecidos. > Exemplo: Prove que 7(pq+qr+pr)<=2+9pqr. > 7(p+q+r)(pq+qr+rp) <= 2(p+q+r)^3 + 9pqr > > Note que 2 = 2.1 foi expandido. > > Um provador automático de teoremas feito em Prolog, por exemplo > poderia fazer essas expansões.O problema seria ele saber > exatamente *o que* expandir. É exatamente aí que entra o desafio, o > sentimento e > a criatividade. > > > Uma vez estava conversando com um amigo meu que estava terminando seu > doutorado em análise. > Ele havia concordado comigo que na matemática tudo são fatos e regras > como na linguagem Prolog. > Para quem não conhece Prolog: http://en.wikipedia.org/wiki/Prolog > > Então não era difícil construir provadores de teorema que pudessem > responder questões mais ou menos > simples via aplicação de regras. Mas há um problema: Cada axioma/hipótese > do teorema é uma regra e > cada teorema no banco de dados do programa é uma regra. > > Se fôssemos usar a força bruta e aplicar > todas as regras indiscriminadamente isso iria gera uma explosão combinatória > de sentenças e dificilmente > chegaríamos a solução ou a conclusão da verdade/falsidade do teorema > chegando em regras atômicas que > por hipótese e/ou teoremas anteriores sabemos ser verdadeiras. > > Claro que se soubéssemos quais regras expandir, não precisaríamos de > computador... como nesse exercício. > > > > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > > > -- > No virus found in this incoming message. > Checked by AVG Free Edition. > Version: 7.1.385 / Virus Database: 268.4.1/312 - Release Date: 14/4/2006 > > _______________________________________________________ Abra sua conta no Yahoo! Mail: 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz. http://br.info.mail.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================