Ola Sergio e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
( escreverei sem acentos )

Aqui vai uma solucao para a questao (i) que voce cita abaixo. Sei que o seu excelente trabalho - que me parece ser presidido pelo mesmo espirito que rege a comunidade Software Livre - e voltado sobretudo para estudantes que farao o vestibular IME, dai eu ter me esforcado para usar apenas conhecimentos de nivel medio e ser tao detalhista quanto possivel.

Se voce ou qualquer outra pessoa achar a solucao util de alguma forma, pode usar a vontade : se quiser, nem precisa citar que fonte. Da uma revisada nos calculos porque eu nao olhei duas vezes para um mesmo lugar. Havendo tempo eu faco a (iii) e publico aqui.

Esta solucao e dedicada a maravilhosa comunidade Debian GNU/Linux.

Vamos, a principio, introduzir um sistema de coordenadas cartesianas conveniente. Para tanto, consideraremos que a reta " r " que contem os pontos fixos A e B e o eixo OY e que o plano OXZ e perpendicular ao segmento AB no ponto medio. Fazendo este ponto medio a origem ( 0,0,0 ) do sistema OXYZ, segue imediatamente que :

A=( 0 ,a ,0 ) e B=( 0, -a, 0 ) para algum "a" real.

Aqui e importante perceber que o plano OXZ ( Y=0 ) sendo o lugar geometrico dos pontos do espaco equidistante de A e B sera tambem, inevitavelmente, o plano onde residira o lugar geometrico que buscamos, pois todo centro de esfera circunscrita ao tetraedro e, em particular, equidistante de A e B.

Agora, continuando, para caracterizar a reta " r ' " ortogonal a "r" e na qual residirao os pontos variaveis M e M' tomaremos : r' = { (b,c,z) ; "b" e "c" reais fixos com "b" diferente de zero e "z" variando nos reais }

E importante perceber que M e M' sao solidarios, no sentido de que fixado um M, M' fica univocamente determinado - M ' e funcao de M - pois trata-se do ponto de r' cuja projecao sobre o triangulo ABM e precisamente o ortocentro destre triangulo. Por outro lado, e facil ver que se aproximanos M=(b,c,W) de (b,c,0) o ponto M' tende ao infinito, ou seja, subira ou descera muito. Visualizar estas coisa e importante para o que segue.

VAMO AGORA FIXAR UM PONTO M=(b,c,W). Para facilitar a visualizacao, imagine W < 0. Para ter uma visao global previa, considere as questoes seguintes :

1) Como encontrar as coordenadas do centro da esfera circunscrita ao tetraedro ABMM' ?

SIMPLES : Encontro as equacoes dos planos perpendiculares as arestas do tetraedro nos seus pontos-medio e resolvo o sistema formado por estas equacoes. Como isso pressupoe saber previamente as coordenadas do ponto M ' tem sentido perguntar ...

2) Como encontrar as coordenadas do ponto M ' ?

SIMPLES : Pelo ortocentro do triangulo ABM traco uma perpendicular ao plano que contem este triangulo. A intercecao desta perpendicular com a reta r' me fornecera as coordenadas de M'. Como isso pressupoe saber previamente as coordenadas do ortocentro do triangulo ABM, tem sentido perguntar ...

3) Como encontrar as coordenadas do ortocentro do triangulo ABM ?

SIMPLES : Seja C o circuncentro e D o baricentro do triangulo ABM. Se R e o ortocentro, sabemos que C, D e R estao alinhados, constituindo a RETA DE EULER do triangulo e que DR = -2*DC. Com esta relacao fica facil calcular as coordenadas do ortocentro. Como isso pressupoe saber previamente as coordenadas do baricentro e do circuncentro, tem sentido perguntar ...

4) Como encontrar as coordenadas do baricentro e do circuncentro ?

SIMPLES : As coordenadas do baricentro sao amplamente conhecidas, pois trata-se da media aritmetica entre as coordenadas dos vertices do triangulo. Para ver como calculamos o circuncentro basta perceber que o plano Y=0 e um plano perpendicular a AB pelo seu ponto medio, em virtude do sistema cartesiano que adotamos acima. Assim, tracamos dois plano respectivamente perpendiculares AM e BM pelos seus ponto medios. A resolucao do sistema formado pelas equacoes dara o circuncentro.

Bom, acho que ficou claro o caminho que vou seguir. A questoes acima foi a forma mais didatica que eu consegui encontrar para dar uma visao panoramica e previa do que farei. Desta forma a sequencia de calculos vai adquirir sentido. Note que os calculos podem ser muitos, mais a ideia e simples, como era de se esperar em problemas deste nivel. Entao, maos a obra !

OS DADOS BASICOS :

A=(0,a,0) e B=(0,-a,0) sao os pontos fixos sobre a reta "r", identificada com o eixo OY. O plano Y=0 corta AB no seu ponto medio. A distancia entre as retas "r" e "r' " sera "b", um real positivo e nao nulo. A distancia de r' ao plano Y=0 sera "c". Sobre r' escolhemos um ponto M=(b,c,W)

ENCONTRANDO O CIRCUNCENTRO E O BARICENTRO DO TRIANGULO ABM :

O ponto medio de AM e ( b/2, (c+a)/2, W/2 ). O vetor AM=M-A sera (b,c-a,W). Logo, a equacao do plano que passa por este ponto e e perpendicular a AM e dada por : [ (X,Y,Z) - (b/2, (c+a)/2, W/2) ].(b,c-a,W) = 0. Fazendo os calculos e colocando numa forma bonita, ficara :

bX + (c-a)Y + WZ = (b^2 + W^2)/2  +  (c^2 - a^2)/2         EQUACAO 1

O ponto medio de BM e (b/2, (c-a)/2, W/2). O vetor BM=M-B sera (b,c+a,W). Logo, a equacao do plano que passa por este ponto e e perpendicular a BM e dada por : [ (X,Y,Z) - (b/2, (c-a)/2, W/2) ].(b,c+a,W) = 0. Fazendo os calculos e colocando numa forma bonita, ficara :

bX + (c+a)Y + WZ = (b^2 + W^2)/2  +  (c^2 - a^2)/2         EQUACAO 2

O Circuncentro esta no plano do triangulo ABM. Precisamos portanto encontrar a equacao do plano que contem este triangulo. Nada mais facil : os vetores MA=A-M e MB=B-M sao respetivamente (-b,a-c,-W) e (-b,-a-c,-W) e, portanto, o produto vetorial entre eles e : MA x MB = -2a(W,0,-b). Segue daqui que o vetor (W,0,-b) e perpendicular ao plano. Logo, a equacao que buscamos sera :

[(X,Y,Z) - M].(W,0,-b) = 0
[(X,Y,Z) - (b,c,W)].(W,0,-b)=0  => WX - bZ = 0                EQUACAO 3

Montando o SISTEMA ( vou me referir a este sistema mais abaixo ) :

Y=0
WX - bZ = 0
bX + (c+a)Y + WZ = (b^2 + W^2)/2  +  (c^2 - a^2)/2
bX + (c- a)Y + WZ = (b^2 + W^2)/2  +  (c^2 - a^2)/2

Resolvendo-o, achamos :

C = circuncentro de ABM = (1/(b^2 + W^2) )*[(b^2 + W^2)/2 + (c^2 - a^2)/2]*(b,0,W). Para facilitar os calculos representarei a expressao 1 + ( (c^2-a^2)/(b^2 + W^2) ) por L. Assim : C = L*(b/2,0,W/2). As coordenadas do baricentro sao facilmente calculaveis, pois, como todos sabem, elas sao as media aritmetica das respectivas coordenadas dos vertices do triangulo. Logo :

D= baricentro de ABM = (b/3, c/3,W/3)


ENCONTRANDO O ORTOCENTRO DO TRIANGULO ABM :


Tendo C e D fica facil calcular R, as coordenadas do ortocentro do triangulo, pois R, D e C estao alinhados formando a chamada RETA DE EULER, o baricentro sempre fica entre o circuncentro e o ortocentro e a distancia do ortocentro ao baricentro e duas vezes a distancia do circuncentro ao baricentro. Em termos de vetores : R - D = -2(C - D). Logo :

R = D - 2(C - D) => R = 3D - 2C = (b,c,W) - L*(b,0,W) = (0,c,0) + (b,0,W) -L*(b,0,W) => R = (0,c,0) + (1-L)*(b,0,W) = (0,c,0) + ( (a^2 - c^2) / (b^2 + W^2) )*(b,0,W)

ENCONTRANDO O PONTO M ' :

Agora vamos tracar por R uma reta perpendicular ao plano que contem o triangulo ABM. A intersecao desta reta com a reta r' sera o ponto M'. Acima, calculamos que o vetor (W,0,-b) e perpendicular ao plano. A equacao da reta que procuramos sera:

(X,Y,Z) - R = t*(W,0,-b)   onde "t" varia nos reais.
(X,Y,Z) = R + t*(W,0,-b).

Procuramos "t" real tal que (X,Y,Z) esteja na reta r ' , vale dizer, X=b e Y=c. Fazendo os calculos chega-se facilmente ao valor t = (L/W)*b. Usando-o para calcular Z chegamos a :

Z= ( a^2 - b^2 - c^2) / W

Fazendo a^2 - b^2 - c^2 = K, chegamos ao famigerado ponto M ' : M ' = (b, c, K / W )

ENCONTRANDO O CENTRO DA ESFERA CIRCUNSCRITA AO TETRAEDRO ABMM '  :

Considerando o SISTEMA montado acima, e facil ver que se retirarmos a exigencia da solucao estar no plano que contem o triangulo ABM, vale dizer, se retirarmos a equacao WX - bZ = 0, a solucao do sistema resultante sera :

Y=0
bX +  WZ = (b^2 + W^2)/2  +  (c^2 - a^2)/2                    EQUACAO 4


Esta reta e perpendicular ao plano AMB pelo circuncentro do triangulo ABM, isto e, contem TODOS os pontos ( e somente eles ! ) equidistante dos vertices A, B e M. Isto posto, fica claro que para encontrarmos o centro da esfera que circunscreve o tetraedro ABMM ' basta tracar um plano perpendicular a qualquer das arestas AM', BM' ou MM' e fazer a interseccao deste plano com a reta da EQUACAO 4 acima. Fazendo isso :

O ponto medio de MM ' e ( b, c, (K/2W) + W/2 ). O vetor MM ' e (0,0, (K / W) - W ). Logo, o plano que contem o ponto medio e e perpendicular ao vetor AM ' tem a equacao :

[(X,Y,Z) - (b,c,(K /2W) + W/2 )].(0,0,(K / W) - W ) = 0

Desenvolvendo, achamos :

Z = (1/2)*( (K/W) + W )      EQUACAO 5

Juntando as EQUACOES 4 e 5,  resulta o sistema :

Y=0
bX +  WZ = (b^2 + W^2)/2  +  (c^2 - a^2)/2
Z = (1/2)*( (K/W) + W )

Resolvendo este sistema, achamos :

X = -K/b .
Z = (1/2)*( (K/W) + W )

Variando W temos os pontos procurados. Segue que o lugar geometrico dos centros das esferas circunscritas ficara :

LG = { (X,Y,Z) = ( -K / b , 0, (W/2) + (K/2W ) tais que W varia ao longo dos reais e e nao nulo } Aqui, conforme dissemos acima, K=a^2 -b^2 - c^2 e "a" e a metade das distancia entre os pontos originais A e B e "b" e a distancia entre as retas ortogonais "r" e "r ' " ( "a" e "b" sao nao nulos, portanto )

A imagem geometrica sera uma reta ou duas semi-reta. Para ver isso claramente, note que :

(W/2) + (K/2W) = z  => W^2 -2zW + K = 0

Uma tal equacao so tem solucao W real ( as unicas que estamos considerando aqui ) se z^2 - K >= 0. Logo, se ocorrer que K=a^2 - b^2 - c^2 =< 0, todo z servira e a imagem sera uma reta. Se K=a^2 - b^2 - c^2 >0, deveremos ter z^2 >= K. Daqui segue que z =< - raiz_quadrada(K) ou z >= raiz_quadrada(K), ou seja, duas semi-retas.


OBS : A grandeza K=a^2 - b^2 - c^2 parece ser importante no contexto deste problema. Se K > 0, nenhuma esfera circunscrita a qualquer dos infinitos tetraedros construtiveis tera centro em (-K/b,0,z) se :

- raiz_quadrada(K) < z < raiz_quadrada(K)

Por que isso ocorre  ?

Seja z tal que - raiz_quadrada(K) < z < raiz_quadrada(K). E facil ver que a distancia "d" de (-K/b,0,z) ao ponto A=(0,a,0) e tal que d^2 = z^2 + a^2 + (-K/b)^2. Mas z^2 < K = a^2 - b^2 - c^2 => z^2 + a^2 < 2a^2 - 2b^2 - 2c^2 + b^2 + c^2 => z^2 + a^2 + (-k/b)^2 < b^2 + 2a^2 - 2b^2 - 2c^2 +c^2 + (-K/b)^2 => z^2 + a^2 + (-k/b)^2 < b^2 + 2K +(-K/b)^2 + c^2 => z^2 + a^2 + (-k/b)^2 < (b + |-K/b|)^2 + c^2 . Seja f^2 =(b + |-K/b|)^2 + c^2 .

E facil ver que se tracarmos por (-K/b,0,z) um plano perpendicular a reta X=-K/b, este plano cortara a reta r' em um ponto "p" tal que a distancia de (-K/b,0,z) a "p" e precisamente "f", vale dizer, a distancia de (-K/b,0,z) ate A=(0,a,0) e menor que a distancia de (-K/b,0,z) a QUALQUER PONTO da reta r'. Logo, (-K/b,0,z) jamais podera ser equidistante de A e de dois outros pontos M e M' residentes em r'. Logo, nenhuma esfera circunscrita ao tetraedro ABMM' podera ter centro em
(-K/b,0,z) se  - raiz_quadrada(K) < z < raiz_quadrada(K).

Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
1,2015,300406

From: Sergio Lima Netto <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] 2 questoes do IME
Date: Fri, 28 Apr 2006 08:31:04 -0300 (BRT)


Em tempo : Quais sao as duas questoes que estao sem resposta ? Voce pode apresentar os enunciados aqui ?

Na versao 8, havia 3 questoes que eu nao
tinha conseguido responder (considerando apenas
o periodo de 2006/2005 a 1977/1978 - pois se considerarmos
todo o periodo atualmente incluido, existem "infinitas"
questoes)

Sao elas (as questoes nao resolvidas anteriormente):
(i) 1986/1987 geometria, 9a questao
(ii) 1985/1986 geometria, 6a questao, item (b)
(iii) 1982/1983 geometria, 7a questao

Em uma msg anterior eu havia postado as questoes (i)
e (ii) e o Luis Lopes, desta lista, as postou
em outra lista obtendo diversas (mesmo!) respostas.
Com isto a questao (ii) ja aparece resolvida na versao 9
(pagina 208). Ontem mesmo o Luis Lopes me
enviou uma solucao para a questao (i). Eu ainda nao
dei uma olhada na solucao para ver se eu entendo.
Aparentemente esta bem detalhada, mas eh que
minha geometria eh bem basica mesmo (como voces
podem perceber pelas solucoes que eu incluo, onde
eu acabo deduzindo uma serie de propriedades
que "estao no sangue" de qualquer geometra). De qualquer forma,
vou postar as questoes (i) e (iii) que nao
tem solucao na versao 9. Solucoes para (i) e (iii)
sao definitivamente bem-vindas.

(i) Sejam duas retas ortogonais r e r' nao coplanares.
Considere sobre r dois pontos fixos A e B e sobre r'
dois pontos variaveis M e M', tais que a projecao de
M' sobre o plano que contem o triangulo MAB e' o
ortocentro H deste triangulo. Determine o lugar geometrico
dos centros das esferas circunscritas ao tetraedro ABMM'.

(iii) Dados dois circulos externos de raios distintos,
mostre que o conjunto de secantes que determinam
em ambos cordas iguais, e' tal que, cada uma dessas
secantes e' tangente a uma parabola, que se pede identificar.

Abraco,
sergio
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================

_________________________________________________________________
COPA 2006: (¯`·._.·[ Ooooooola ]·._.·´¯) e + frases para seu MSN Clique aqui! http://copa.br.msn.com/extra/frases/

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================

Responder a