1) Suponhamos que m = n^2 - 1 = (n+1)(n-1) possua 4 divisores. Temos que n>=3. Se n for impar, entao n- 1 e n+1 sao ambos pares, implicando que m seja multiplo de 4. Se n =3, entao m =8 tem 4 divisores, mas isto nao leva ainda aa correspondencia desejada. Se n>=5 for impar, entao os numeros pares n-1 >=4 e n+1 sao divisores de m. Alem disto, m tem como divisores os numeros 1 , 2 e m, de modo que para n>=5, impar, m tem pelo menos 5 divisores, contraraiamente aa hipotese. Assim, valore impares de n nao implicam a correspondencia de4sejada. Se n>=4 for par, entao n-1>=3 e n+1 sao ambos divisores impares de m. Alem disto, m tem por divisores os numeros 1 e o proprio m. Dado que m tem exatamente 4 divisores, segue-se que n-1 e n+1 sao ambos primos, pois, se ao menos um deles fosse composto, m teria pelo menos um divisor a mais do que os citados, contrariamente aa hipotese basica. Concluimos assim que, a cada valor par de n para o qual n-1 e n+1 sejam primos - logo primos gemeos - corresponde o par (n-1 , n+1) de primos gemeos. Por outro lado, se n-1 e n+1 sao pimos gemeos, entao m = n^2 -1 = (n-1)(n+1) tem por fatores primos unica e exclusivamente n-1 e n+1 (teorema fundamental da aritmetica). Como, alem disto, 1 e m sao divisores de m, segue-se que m tem exatamente 4 divisores. Isto eh, a cada par de primos gemeos, corresponde um numero da forma n^2 -1. Concluimos, assim, que a correspondencia entre o conjunto dos pares de primos gemeos e os numeros da forma n^2 -1 eh ,de fato, biunivica, hah uma bijecao entre os 2 conjuntos.
A questao 3 jah foi discutida na lista, de forma mais geral, hah alguns dias, sob o titulo Diferenca de 2 quadrados. Basta fazer y = (p+1)/2 e x = (p-1)/2. A questao 2 parece mais complicada, vamos tentar outra hora. Artur --- Ricardo Khawge <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Agradeço qualquer ajuda nas seguintes questões: > > 1) Mostre que existe uma correspondência biunÃvoca > entre pares de primos > gêmeos e números n tais que n^2 -1 possui 4 > divisores. > > 2) Seja p> 3 um primo. Mostre que a^p - a e a^p. b- > b^p . a são divisÃveis > por 6p, para todos a>0, com a>b. > > 3) seja p um primo Ãmpar. Mostre que se pode > escrever p = y^2 - x^2, com x > e y positivos, de modo único. > > Obrigado > > _________________________________________________________________ > Ganhe tempo encontrando o arquivo ou e-mail que você > precisa com Windows > Desktop Search. Instale agora em > http://desktop.msn.com.br > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > __________________________________________________ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================