oi Paulo,
Agora quem vai pedir desculpas sou eu pela demora.
Vou tentar compilar sua solucao esta semana.
Mas assim que terminar eu te passo
para dar uma olhada (se voce puder, eh claro,
pois jah estou dando muito trabalho).
Gostaria de te agradecer e parabenizar pelas
solucoes. Acho que sao questoes muito
belas (fora da realidade por estarem em
um vestibular, mas isto eh outra historia).
E sua solucao do tetraedro me ensinou bastante.
Vou fechar a versao 9c com a sua solucao
deste problema e disponibiliza-la na net.
Acho que depois disto vou dar uma parada no material do
IME, pois nao tenho mais para onde ir.
Abraco,
sergio
On Sat, 6 May 2006, Paulo Santa Rita wrote:
Ola sergio e demais colegas
desta lista ... OBM-L,
Ola Sergio. Demorei a postar a solucao porque antes tive que
escrever de forma clara. Percebo duas maneiras de fazer. Vou
apresentar a que me parece mais clara.
Esta solucao usa metodos das Geometrias Euclidiana e Analitica.
IMAGINE dois circulos C1 e C2 tais que a distancia entre os seus
centros e "d". C1 tem raio "a" e seu centro esta na origem O=(0,0)
de um sistema de coordenadas cartesiana. C2 tem raio "b" e seu
centro esta no ponto D=(0,-d). Dado que estes circulos precisam
ser distintos e exteriores, vamos supor : "a > b" e "d > a+b".
Nao vamos perder tempo com coisas excessivamente triviais. Assim :
e facil perceber duas coisas acerca da parabola que procuramos : o
seu eixo de simetria esta contido na reta "e" determinada pelos
dois centros dos circulos e a equacao Y=f(X) que a caracteriza tem
minimo, vale dizer, ela e convexa. Segue daqui que se "p" e o
parametro e "q" a ordenada do vertice, a equacao da parabola tem a
forma :
2p( Y - q ) = X^2 => Y = ( (X^2) / (2p) ) + q EQUACAO
PARABOLICA
Note que o problema consiste em encontrar "p" e "q". Note tambem
que e facil encontrar a equacao da tangente a parabola num ponto
arbitrario (X0,Y0). Verifique que ela tem a forma :
Y = (X0 / p)*X + ( q - ( (X0^2) / 2p ) ) EQUACAO 1
Agora, seja K < b um real positivo e S1 e S2 duas secantes tais que
:
A) S1 nao cruza o segmento OD, intercepta a reta "e" no ponto E,
determina em C1 e C2 respectivamente as cordas T11 e T12, ambas de
mesmo comprimento 2K e forma com o eixo OX um angulo agudo.
B) S2 cruza o segmento OD no ponto F, determina em C1 e C2
respectivamente as cordas T21 e T22, ambas de mesmo comprimento 2K
e forma com o eixo OX um angulo agudo.
OBS : A exigencia de "formar com o eixo OX um angulo agudo" e para
evitar ambiguidades ... de fato, verifique que se a retirarmos
haver?o duas retas - simetricas em relacao a reta "e" - atendendo
A) e duas atendendo B).
SECANTE S1
Seja G o ponto onde a perpendicular a T11 tracada por O intercepta
T11 e H o ponto onde a perpendicular a T12 tracado por D intercepta
T12. Com esta construcao, e facil ver que :
(a - OG)(a + OG) = (T11/2)^2 => a^2 - (OG)^2 = K^2 =>
OG = raiz_qua( a^2 - K^2 )
(b - DH)(b + DH) = (T12/2)^2 => b^2 - (DH)^2 = K^2 =>
DH = raiz_qua( b^2 - K^2 )
Os triangulos DHE e OGE sao claramente semelhantes. E facil que o
angulo GOE e igual ao angulo que a secante S1 forma com o eixo OX e
que o cosseno do angulo GOE = cos(GOE) = (OG - DH) / d. Daqui
segue imediatamente que :
tangente de GOE = tg(GOE) = raiz_qua{ [d / (OG - DH ) ]^2 - 1 }
PARAMETRO 11
Seja agora DE = z. A semelhanca de triangulos mencionada acima nos
permite escrever : DH/OG = z/(z+d). Daqui segue imediatamente que :
z + d = ( OG*d ) / (OG - DH ) PARAMETRO 12
Os parametros 11 e 12 nos permitem escrever a equacao reduzida da
secante S1 :
Y = raiz_qua{ [d / (OG - DH ) ]^2 - 1 }* X - ( OG*d ) / (OG -
DH ) EQUACAO 2
Esta secante e tangente a parabola. Comparando a EQUACAO 1 com a
EQUACAO 2 chegamos a conclusao que deve existir na parabola um
ponto ( X0,Y0 ) tal que :
X0 / p = raiz_qua{ [d / (OG - DH ) ]^2 - 1 }
q - ( (X0^2) / 2p ) = - ( OG*d ) / (OG - DH )
Isolando X0 nas duas equacoes e comparando, chegamos a :
{ [d / (OG - DH ) ]^2 - 1 }*p - 2q = (2d*OG) / (OG - DH )
EQUACAO FUNDAMENTAL 1
SECANTE S2
Seja M o ponto onde a perpendicular a T21 tracada por O intercepta
T21 e N o ponto onde a perpendicular a T22 tracado por D intercepta
T22. Com esta construcao, e facil ver que :
(a - OM)(a + OM) = (T21/2)^2 => a^2 - (OM)^2 = K^2 =>
OM = raiz_qua( a^2 - K^2 ) = OG
(b - DN)(b + DN) = (T22/2)^2 => b^2 - (DN)^2 = K^2 =>
DN = raiz_qua( b^2 - K^2 ) = DH
Os triangulos DNF e OMF sao claramente semelhantes. E facil que o
angulo MOF e igual ao angulo que a secante S2 forma com o eixo OX e
que se fizermos OF = z, a semelhanca destacada nos permite escrever
: OM/DN = z/(d-z). Daqui segue imediatamente que :
z = OF = (OM*d) / ( DN + OM ) = (OG*d) / (OG + DH ) PARAMETRO 21
Por outro lado, cos(MOF) = OM / OF => cos(MOF) = (OG + DH ) / d.
Daqui segue imediatamente que :
tangente de MOF = tg(MOF) = raiz_qua{ [d / (OG + DH)] ^2 - 1 }
PARAMETRO 22
Os parametros 21 e 22 nos permitem escrever a equacao reduzida da
secante S2 :
Y = raiz_qua{ [d / (OG + DH ) ]^2 - 1 }* X - ( OG*d ) / (OG +
DH ) EQUACAO 3
Esta secante e tangente a parabola. Comparando a EQUACAO 1 com a
EQUACAO 3 chegamos a conclusao que deve existir na parabola um
ponto ( X0,Y0 ) tal que :
X0 / p = raiz_qua{ [d / (OG + DH ) ]^2 - 1 }
q - ( (X0^2) / 2p ) = - ( OG*d ) / (OG + DH )
Isolando X0 nas duas equacoes e comparando, chegamos a :
{ [d / (OG + DH ) ]^2 - 1 }*p - 2q = (2d*OG) / (OG + DH )
EQUACAO FUNDAMENTAL 2
FINAL
Agora basta juntar as equacoes fundamentais 1 e 2 :
{ [d / (OG + DH ) ]^2 - 1 }*p - 2q = (2d*OG) / (OG - DH )
{ [d / (OG + DH ) ]^2 - 1 }*p - 2q = (2d*OG) / (OG + DH )
Temos um sistema linear de duas equacoes a duas incognitas.
Resolvendo-o, verifique que acharemos :
p = ((OG^2) - (DH^2 )) / d = (a^2 - b^2) / d
q = - ( d^2 + (OG^2 - DH^2)) / d = - (d^2 + a^2 - b^2 ) / d
Substituindo "p" e "q" na EQUACAO PARABOLICA acima teremos a
parabola que procuramos.
Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
7,1220,060506
From: Sergio Lima Netto <[EMAIL PROTECTED]>
To: Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]>
Subject: RE: solucao IME
Date: Thu, 4 May 2006 15:43:06 -0300 (BRT)
oi Paulo,
Aqui vai:
IME 1982/1983, geometria, 7a questao:
Dados dois circulos externos de raios distintos,
mostre que o conjunto de secantes que determinam
em ambos cordas iguais, e' tal que, cada uma dessas
secantes e' tangente a uma parabola, que se pede identificar.
A unica coisa que consegui ateh agora eh que pela
pela simetria do problema, o eixo de simetria da parabola
e' a reta que une os centros dos circulos.
Abraco,
sergio
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