>Bom dia Bom dia Arthur. Não posso resistir em dar meu "pitaco" :) Sua dúvida é bastante especÃfica. Eu acredito que iso é verdadeiro para conjuntos Boreleanos, isto é que que M é sim a maior sigma álgebra, pois ela é definida para todo subconjunto próprio ou não de X, inclusive o vazio (mas seria melhor repassar essa dúvida para pessoas que estudam teoria de medida e/ou mecânica estatÃstica).
http://en.wikipedia.org/wiki/Carath%C3%A9odory's_theorem_(measure_theory) O teorema de Caratheodory é para phi-medidas (medidas exteriores) definidas nas partes de X. Veja a definição no link acima. Ele diz que se uma função phi satisfaz phi(A) = phi(A inter E) + phi(A\E) então os conjuntos A que satisfazem essa propriedade formam uma sigma-álgebra (se e somente se). Mais ainda, se restringirmos phi a esses conjuntos então phi é uma medida completa. Como todo conjunto de Borel A é phi-mensurável (satisfaz phi(A) = phi(A inter E) + Phi (A\E)) então isso seria verdadeiro para todos os subconjutos de Boreleanos de A que também são boreleanos, daà vc forma a sigma álgebra M_1 contido em M com eles. Eu acredito que não existe outra sigma ágebra N, composta por subconjuntos boreleanos de A, tal que M seja uma subcolecao propria de N, já que se M engloba todos os subconjuntos de A, então englobaria também todas as possÃveis sigma-ágebras (porque todo subconjunto de qualquer conjunto de A seria phi mensurável e portanto poderÃamos formar (por Caratheodory) uma sigma-álgebra com esses subconjuntos). Finalizando... não sei se tudo isso que disse está certo (preciso estudar melhor o assunto) mas pelo menos tentei ajudar. Alguém aqui conhece alguma lista de discussão de Mecânica EstatÃstica? Estuda o assunto? Andei acessando o orkut em busca de pessoas com quem colaborar, mas qualquer ajuda de qualquer pessoa é MUITO, repito MUITO bem vinda. Preciso muito de gente para me ajudar ... Obrigado à todos !!! (que realmente considero amigos). []s >Eu tenho uma duvida, talvez alguem possa esclarecer. Suponhamos que X seja >um dado conjunto e que C seja uma colecao de subconjuntos de X que inclua o >vazio e o proprio X. Seja u uma funcao de conjunto definida em C e com >valores em [0, oo]. A partir daih, podemos definir uma medida exterior no >conjunto P(X), das partes de X, dada, para cada A de P(X), pela formula >classica m*(A) = infimo {Soma(n=1, oo) u(E_n) | {E_n} eh uma cobertura >enumeravel de A composta por conjuntos de C}. Pela definicao de >Caratheodory, um conjunto A de P(X) eh dito mensuravel se, para todo K de >P(X), tivermos que u*(K) = u*(K inter A) + u*(K inter A'), onde A' eh o >complementar de A com relacao a X. Pelo teorema de Caratheodory, a colecao M >dos conjuntos mensuraveis de P(X) eh uma sigma-algebra e a restricao m de m* >a M eh uma medida em M (eh sigma-aditiva) A minha duvida eh se M eh a maior >sigma-algebra que podemos formar com subconjuntos de X tal que a retricao de >u* a esta sigma-algebra seja uma medida. Isto eh, eh posivel existir uma >sigma-algebra N, composta por subconjuntos de X, tal que M seja uma >subcolecao propria de N e a restricao de m* a N seja uma medida em N? >Obrigado >Artur ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================