Caro Artur,
Vou tentar explicar algumas dessas coisas:
Quoting Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>:
Com relacao a este assunto, eu gostaria que alguem esclarecesse algumas
duvidas, fiquei um tanto confuso:
A dimensao de Hausdorff eh baseada na medida (ou medida exterior, nao estou
certo) de Hausdorff, OK? Se A eh um conjunto de R^n eh H_d(A)eh a sua
medida d-dimensional de Hausdorff, entao a dimensao de Hausdorff D(A) eh
definida por infimo{d >=0 | H_d(A) >0}, certo? A medida de Hausdorff eh uma
extensao da medida de Lebesgue, soh que em vez da soma dos volumes (volume,
aqui, no sentido geral) dos conjuntos da cobertura, tomam-se as potências d
deste volumes,
Mais precisamente toma-se potências d dos diâmetros dos conjuntos da
cobertura.
limitando o diametro dos conjuntos da cobertura em r>0 e ,
depois , tomando-se o infimo em r>=0 desta somas de potencias d dos volumes.
E fazendo r tender a 0, ou seja, tomando o liminf dessas somas quando r
tende a 0.
Assim, para d=1 as medidas de Hausdorff e de Lebesgue se confundem, certo?
Certo.
Se H_d(A) < oo, entao H_p(A) = 0 para p >d e H_p(A) = oo para 0<= p <d. Eh
isso mesmo?
Sim.
O Gugu dise que existe um conjunto de cantor K com dimensao de Hausdorff
nula e tal que K - K seja um intervalo. Isto implica que, em R^n, eh
possivel que um conjunto A tenha medida de Lebesgue nula e que, ainda assim,
A- A contenha uma bola, certo?
Sim. Mas isso já segue de tomar A igual ao conjunto de Cantor usual
(que tem dimensão de Hausdorff positiva mas medida de Lebesgue nula).
Tambem eh verdade em R^n que, se A tem medida positiva (compacto ou nao),
entao A - A contem uma bola centrada na origem e A + A contem uma bola em
algum lugar, certo?
Sim.
Existe o classico conjunto de Cantor, obtido removendo-se sucessivamente
tercos de intervalos de [0, 1], o qual eh compacto e tem medida nula, logo
interior vazio. Mas falou-se em "conjuntos de Cantor", logo existem outros
que ateh podem conter intervalos. Como sao construidas estas generalizacoes
do conjunto basico de Cantor?
Conjuntos de Cantor são conjuntos homeomorfos ao conjunto de Cantor
usual, e portanto não contêm intervalos. Os conjuntos de Cantor
contidos na reta real são exatamente os conjuntos compactos, sem
pontos isolados e de interior vazio.
Abraços,
Gugu
Obrigado
Artur
-----Mensagem original-----
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: terça-feira, 4 de julho de 2006 20:00
Para: Nicolau C. Saldanha
Cc: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: RES: [obm-l] Cj. Cantor
Oi Nicolau,
Na verdade, estritamente falando, a sua afirmação não é verdadeira:
é possível exibir um conjunto de Cantor A na reta com dimensão de
Hausdorff 1 tal que A-A tem medida nula. O meu trabalho com o Yoccoz,
no qual provamos uma conjectura do Jacob, implica que a maioria
(aberto, denso e de "medida total")dos conjuntos de Cantor
dinamicamente definidos por funções expansoras (pelo menos de classe
C^(1+d), com d>0; para C^1 é genericamente falso) K com dimensão de
Hausdorff maior que 1/2 é tal que K-K tem interior não-vazio. Por outro
lado, para Conjuntos de Cantor "bem-comportados" (por exemplo
dinamicamente definidos) K com dimensão de Hausdorff menor que 1/2, K-K
tem medida nula. Isso vale sempre que a capacidade limite (que, para
conjuntos bem-comportados, coincide com a dimensão de Hausdorff) de K é
menor que 1/2. Por outro lado é possível construir um conjunto de
Cantor K na reta com domensão de Hausdorff 0 tal que K-K é um intervalo.
Abraços,
Gugu
Quoting "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]>:
On Tue, Jul 04, 2006 at 11:28:39AM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
Esta conclusao a respeito do conjunto K de Cantor eh exemplo de uma
conclusao interessante. Sabemos que se um conjunto A de R^n tem medida de
Lebesgue positiva, entao A - A contem uma bola centrada na origem. Mas a
reciproca na eh vedadeira. K tem medida nula e, mesmo assim, K - K = [-1,
1], que eh uma bola em R centrada na origem.
Novamente, o Gugu é a autoridade no assunto, mas existe um número a,
0 < a < 1, tal que se a dimensão de Hausdorff de um subconjunto compacto
A de R é maior do que a então A-A contem uma bola centrada na origem.
Infelizmente eu não sei qual é o menor valor de a para o qual vale
este resultado, nem sei se o nosso exemplo segue deste resultado geral.
Se A tem medida positiva sua dimensão de Hausdorff é 1;
a dimensão de Hausdorff de K (o conjunto de Cantor usual)
é log 2/log 3 ~= 0.63.
[]s, N.
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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