Para a segunda proposicao, eu enviei a segunda prova, para consideracoa de todos:
 

Na realidade, no problema da mensagem original, a hipotese de A seja finto e limitado nao faz diferenca. O enunciado poderia ser o seguinte:

Seja A um subconjunto de R que tenha pontos de acumulacao e facamosA_0 = Aseja A_1 o conjunto dos pontos de acumulacao de A_0. Seja agora A_2 o conjunto dos pontos de acumulacao de A_1. De modo geral, formemos uma sequencia de conjuntos em que cada A_k eh o conjunto dos pontos de acumulacao de A_(k-1). Se, para algum k, A_k for vazio, entao isto implica que A eh enumeravel?

Esta eh de fato a questao que conta. Se A for enumeravel, nao precisamos ter A_k = vazio para algum k, basta tomar os racionais, como o Claudio lembrou.

Eu acho que a resposta para a questao acima eh sim. Parece mais facil demonstrar a contrapositiva. Dizemos que a (pertencente ou nao a A) eh ponto de condensacao de um conjunto A se toda vizinhanca de a contiver uma quantidade nao enumeravel de elementos de A. Assim, todo ponto de condensacao de A eh ponto de acumulacao de A. Sabemos que, se A nao for enumeravel, entao A tem pontos de condensacao (e tem pontos de condensacao que pertencem a A). Sabemos ainda que o conjunto dos pontos de condensacao de um conjunto nao enumeravel tambem nao eh enumeravel. Assim, no caso, A_1 contem os ponto de condensacao de A e, desta forma, A_1 nao eh enumeravel e, portanto, nao eh vazio. Por inducao, concluimos que, para todo k, A_k nao eh enumeravel e, portanto, nao e vazio.  Tomando a contrapositiva, temos a demosntracao.

 

Artur

 

 

 
-----Mensagem original-----
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffara
Enviada em: segunda-feira, 10 de julho de 2006 12:50
Para: obm-l
Assunto: Re:RES: [obm-l] Pontos de acumulacao

Alguém conseguiu uma demonstração ou um contra-exemplo pra segunda proposição?
 
Aliás, isso me lembra um problema proposto há meses pelo Paulo Santa Rita.
Definimos duas funções de Partes(R) em Partes(R):
F(X) = Fecho de X
e
C(X) = R - X = Complementar de X.
 
Assim, F(Q) = R; F((0,1]) = [0,1]; C((0,1]) = (-inf,0] U (1,+inf); etc...
 
Em geral, temos que: F(F(X)) = F(X) e C(C(X)) = X.
 
Dado um subconjunto qualquer A_0 de R, calculamos, sucessivamente:
A_1 = g(A_0); A_2 = g(A_1); A_3 = g(A_2); etc.
onde g pode ser tanto F quanto C.
 
Problema:
1) Prove que, qualquer que seja A_0, existem naturais m, n tais que 0 <= m < n e A_m = A_n.
2) Qual o maior valor possível de n-m?
3) Exiba um A_0 e uma sequência de A_i's correspondentes ao valor achado em (2).
 
Por exemplo: A_0 = [0,1)
A_1 = C(A_0) = (-inf,0) U [1,+inf)
A_2 = F(A_1) = (-inf,0] U [1,+inf)
A_3 = C(A_2) = (0,1)
A_4 = F(A_3) = [0,1]
A_5 = C(A_4) = (-inf,0) U (1,+inf)
A_6 = F(A_5) = (-inf,0] U [1,+inf) = A_2 ==> n - m = 4
 
Se não me engano, este problema se deve a Kuratowski.
 
[]s,
Claudio.
 
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Mon, 10 Jul 2006 09:58:31 -0300
Assunto: RES: [obm-l] Pontos de acumulacao
> >
> > Seja A um conjunto infinito e limitado de R. Entao, A tem pontos de
> > acumulacao (T. de Bolzano/Weierstrass). Definamos A_0 = A e seja A_1 o
> > conjunto dos pontos de acumulacao de A_0. Seja agora A_2 o conjunto dos
> > pontos de acumulacao de A_1. De modo geral, formemos uma sequencia de
> > conjuntos em que cada A_k eh o conjunto dos pontos de acumulacao de
> A_(k-1).
> >
> >
> > Algumas questoes que estou tentando responder:
> >
> > Se A for enumeravel, teremos necessariamente A_k = vazio para algum k?
> >
> Seja A_0 = {racionais em [0,1]} = enumeravel ==>
> A_1 = A_2 = ... = A_n = ... = [0,1] <> vazio
>
> > Se, para algum k, A_k for vazio, entao isto implica que A eh enumeravel?
>
> > Se A nao for enumeravel, podemos ter A_k = vazio para algum k?
> >
>
>
> Essas duas ultimas sao equivalentes, nao sao?
>
> []s,
> Claudio.
>
> De fato. Uma eh a contrapositiva da outra. Na realidade, as duas primeiras
> eh que constituem proposicoes logicamente distintas.
>
> Obrigado.
> Artur
>
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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