On Mon, Jul 10, 2006 at 04:29:23PM -0300, Artur Costa Steiner wrote: > Naquela proposicao sobre a sequencia dos conjuntos de pontos de acumulacao, > hah ainda uma proposicao adicional cuja prova ou contra exemplo parecem ser > bem dificeis. Lembrando o problema: > > Seja A um subconjunto de R que tenha pontos de acumulacao. Facamos A_0 = A e > seja A_1 o conjunto dos pontos de acumulacao de A_0. Seja agora A_2 o > conjunto dos pontos de acumulacao de A_1. De modo geral, formemos uma > sequencia de conjuntos em que cada A_k eh o conjunto dos pontos de > acumulacao de A_(k-1). > > Vimos que, se para algum k tivermos A_k enumeravel, entao A eh enumeravel. > Eu ouvi um top dog afirmar (mas nao vi a demonstracao) de que se tivermos > A_k = vazio para algum k, entao, alem de enumeravel, A e um G-delta (nao sei > se isso ainda eh verdade se A_k for enumeravel para algum k). > > A demonstracao disso nao parece facil. > > Artur > > PS. Lembrando: Um conjunto eh G-delta se for dado pela intercessao de uma > colecao enumeravel de conjuntos abertos.
O conjunto A_0 U A_1 é fechado, logo um G-delta. Para passarmos de A_0 para A_1 precisamos eliminar um número enumerável de pontos x_0, x_1, x_2, ... Basta tomar a interseção com os abertos R - {x_0}, R - {x_1}, ... Mudando um pouco de assunto, se A_0 for fechado e enumerável, nada garante que algum A_k seja vazio. Podemos definir A_omega como a interseção de todos os A_k, k natural. Podemos prosseguir definindo A_{omega+1} como o conjunto dos pontos de acumulação de A_omega, A_{omega+k+1} como o conjunto dos pontos de acumulação de A_{omega+k}, A_{omega*2} como a interseção de todos os A_{omega+k} e assim por diante para todos os ordinais. Sempre existe um ordinal enumerável alfa para o qual A_alfa é vazio, mas alfa pode ser arbitrariamente alto. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================