> 1) Determine todos os polinomios P nao identicamente nulos tais que > P(3x-2)=81P(x) para todo x real.
x = 1 ==> P(1) = 81P(1) ==> P(1) = 0 ==> P(x) = (x - 1)Q(x) P(x - 2) = 81P(x/3) Se P(x) = a_0 + a_1x + ... + a_nx^n, entao, comparando os termos de maior grau: a_nx^n = 81a_n(x/3)^n ==> n = 4 Logo, podemos escrever P(x) = (x - 1)(ax^3 + bx^2 + cx + d) P(x-2) = (x - 3)(a(x-2)^3 + b(x-2)^2 + c(x-2) + d) ==> P(x-2) = (x - 3)(ax^3 + (-6a+b)x^2 + (12a-4b+c)x + (-8a+4b-2c+d) 81P(x/3) = 81(x/3 - 1)(a(x/3)^3 + b(x/3)^2 + c(x/3) + d) ==> 81P(x/3) = (x - 3)(ax^3 + 3bx^2 + 9cx + 27d) Igualando coeficientes, teremos: -6a+b = 3b 12a-4b+c = 9c -8a+4b-2c+d = 27d ==> b = -3a c = 3a d = -a ==> P(x) = a(x - 1)(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) ==> P(x) = a(x - 1)^4 onde a = real qualquer nao-nulo. []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================