Olá,
 
f(x,y,z) = x^2 + 4y^2 + 2z^2 + 4xy
 
queremos calcular seu mínimo, com a seguinte condicao: xyz = 32.
 
pra isso, vms utilizar multiplicadores de lagrange, entao:
 
grad f(x,y,z) = lambda * grad(xyz - 32)
 
(2x + 4y; 8y + 4x; 4z) = lambda * (yz, xz, xy)
logo, basta resolvermos o seguinte sistema:
 
2x + 4y = lambda * yz
8y + 4x = lambda * xz
4z = lambda * xy
xyz = 32
 
observando a terceira equacao, temos: 4z^2 = lambda * xyz = lambda * 32, logo: z^2 = 8 * lambda
multiplicando a primeira por 2, temos: 4x + 8y = 2*lambda * yz = lambda * xz ... 2y = x
 
substituindo na primeira, temos: 2*2y + 4y = lambda * yz .... 8 = lambda * z ... z = 8 / lambda
 
assim: z^2 = 8 * lambda = 64/lambda^2 .... lambda^3 = 8 ... lambda = 2
z^2 = 8 * 2 = 16 ... z = 4
 
4xy = 32 ... xy = 8, mas x = 2y.. logo: 2y^2 = 8 ... y^2 = 4... y = 2
 
4 * 2 * x = 32 ... x = 4
 
assim, o menor valor de f(x,y,z) se da quando x = 4, y = 2, z = 4...
calculando-o, temos: f(4, 2, 4) = 4^2 + 4*2^2 + 2*4^2 + 4*4*2 = 16 + 16 + 32 + 32 = 32 + 64 = 96...
 
acho que é isto.. bate com a resposta?
 
abraços,
Salhab
 
 
----- Original Message -----
Sent: Monday, July 24, 2006 3:00 PM
Subject: [obm-l] Desigualdade

Sejam x, y, e z inteiros positivos tal que xyz=32 calcule o menor valor da expressao x^2+4y^2+2z^2+4xy. Alguem tem alguma ideia esperta?


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