Ola' Jorge,
finalizando o problema :
Fazendo a projecao do poliedro no plano horizontal e' facil perceber que a translacao de uma das bases nao altera o volume do solido. Portanto, vamos alinha-las na mesma vertical. Tambem podemos supor que uma das bases tenha uma rotacao inicial (em torno do eixo vertical) de pi/4, de modo que os triangulos formados pela projecao sejam isosceles.
Assim, essa projecao revela 3 tipos de solidos:
1) o quadrado central (lado A) corresponde a um paralelepipedo.
2) os 4 triangulos com base no quadrado externo (lado B) correspondem a 4 piramides iguais.
3) os 4 triangulos com base no quadrado interno correspondem a 4 piramides iguais.
Chamando de H a distancia entre as bases, e aplicando um desvio de "alfa" `a rotacao inicial ( pi/4 )
entre as mesmas, e' facil calcular que o volume total sera' a soma de 3 parcelas:
1: (B^2) * H
2: 1/3 * [ A^2 - ABsqrt(2)cos(alfa) ] * H
3: 2/3 * [ ABsqrt(2)cos(alfa) - B^2 ] * H
ou seja,
Vol = 1/3 * H * [ A^2 + B^2 + ABsqrt(2)cos(alfa) ]
Alem disso, percebe-se que o volume depende da rotacao entre as bases.
[]s,
Rogerio Ponce.
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Rogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
Rogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
Ola' Jorge,
seu comentario e' muito bem vindo pois alguns tem certa dificuldade em compreender a expressao "dimensoes lineares" .
Meu amigo Rex, por exemplo, ontem mesmo me perguntou : "Mas as dimensoes de um poligono nao sao sempre lineares? "Pensei em explicar-lhe como outras grandezas com dimensoes diferentes de 'comprimento' podem ser utilizadas na avaliacao do tamanho de um objeto. Mas Rex nao precisava de tanto.Disse-lhe apenas que um poligono tambem pode ser avaliado por outras medidas (ou dimensoes) que nao as lineares. A area, por exemplo, e' uma grandeza comumente utilizada.Assim, no dia a dia, encontramos tanto "lotes de 900m2 `a venda" quanto "lotes de 30m x 30m" .
No primeiro anuncio, a dimensao do terreno e' dada pela area, enquanto no segundo anuncio, as dimensoes lineares sao fornecidas.Rex, que nunca foi `a escola mas aprende facil, entendeu perfeitamente essa singela explicacao, e foi-se embora, satisfeito.Grande abraco,
Rogerio Ponce
Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:OK! Rogério e demais colegas! Grato pelo contra exemplo e parabéns pelo
magistral emprego do termo "Dimensões Lineares"...
Rogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:Ola' pessoal,a solucao do poliedro esta' incompleta: as DIMENSOES LINEARES (e nao a AREA) do octogono e' que seguem uma transicao linear, portanto a resposta nao e' a base media multiplicada pela altura.Vou pensar mais um pouco e respondo.Abracos,Rogerio Ponce.
Rogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:Ola' Jorge e colegas da lista,
o problema do tetraedro e' instigante, e bem que merecia uma resposta afirmativa. Imaginei que areas iguais determinariam volumes iguais. Mas depois de pastar um tempo tentando encontrar as (4) alturas determinadas pelas areas das faces, resolvi testar um contra exemplo bobo qualquer. E verifiquei que, infelizmente, areas iguais nao determinam volumes iguais. Segue o contra exemplo:
Tome a seguinte base no plano x,y: (0,0) (8,0) (4,1)
e o vertice x,y,z do tetraedro em (4,1,sqrt(12/5) )
Altere a base para (0,0) (4,0) (2,2) , e recoloque
o novo vertice x,y,z da piramide em (2,3,sqrt(23/5) )
Verifique que todas as faces correspondentes continuaram com mesma area, mas a altura do vertice da piramide mudou. Portanto, os volumes sao diferentes.
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O problema do poliedro e' resolvido facilmente se projetarmos todas as arestas no plano horizontal , alem da intersecao com um plano horizontal qualquer entre as 2 bases. Facilita bastante, sem perda de generalidade, consideramos a projecao de uma das bases totalmente contida pela projecao da base maior.
Nessa situacao (i.e., olhando a projecao das arestas), qualquer corte do poliedro por um plano horizontal determina um octogono cujas arestas "caminham" sobre triangulos de forma proporcional `a altura do corte. O resultado e' que esse octogono tem uma area total governada por uma transicao linear entre as areas das 2 bases quadradas, independentemente da rotacao relativa entre as bases (ou do posicionamento dos centros) .
Assim, o volume do poliedro e' sempre a media das areas dos quadrados (bases) multiplicada pela distancia vertical entre as bases (i.e., pela altura do poliedro).
Abracos a todos,
Rogerio Ponce
Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:...
Se as áreas das faces de um tetaedro são as mesmas de outro tetaedro, então
eles têm mesmo volume?
Um poliedro tem duas faces paralelas, que chamarei de bases. Essas bases são
quadrados, mas os lados de uma não são paralelos aos lados da outra. Todas
as outras faces, que chamarei de faces laterais, são triângulos. Conhecendo
os lados das bases e a distãncia entre os planos das bases, é possível
calcular o volume desse poliedro? Se fizermos uma translação de uma das
bases em um plano paralelo à outra, o volume se modifica? Se uma das bases,
mantendo-se em seu plano, girar em torno de seu centro, o volume se
modifica?
Abraços e bom proveito!
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