Você vai gostar da solução que eu encontrei pois nem precisei dos números complexos, só da rotação e um "tiquinho" de geometria. Mas você vai ter que completar os "blanks"... gostou? Amanhã ou depois eu posto a solução completa à noite (viu só o que dá cutucar coroas com vara curta :-) ?).
Ai vai (sugiro usar lápis de cor, com pelo menos três cores :-) - em homenagem ao ginásio).
Considere o tal do triângulo ABC, o triângulo equilátero K, L e M e seu centro O (do equilátero). Gire a figura no sentido trigonométrico, por exemplo, de 60 graus em torno de O e chamemos as imagens da rotação de A', B', C', K', L', e M', respectivamente. Naturalmente que K' é L; L' é M e M' é K. Note que AK = A'K' (além disso as retas suporte destes segmentos naturalmente fazem 60 graus). Então K'B = K'A'. Logo, A'K'= BK' (porque?). Chega. Não vou dar mais colher de chá "procê" não. Você é muito esperto.
Agora uma digressão.
Dois dos meus professores nas priscas eras do vestiba foi o Virgílio de Athaide Pinheiro e o Célio Pinto de Almeida, com quem aprendi satsfatoriamente e decentemente (mas há 43 anos) Geometria Plana, Desenho Geométrico e Geometria Descritiva (alem de Perspectiva). Sem nenhuma compulsão saudosista, lamento que a modernidade burra tenha literalmente eliminado estas disciplinas da grade escolar usual. Isto talvez explique porque a maioria dos problemas com elegantes soluções geométricas sejam em geral abordados por Geometria Analítica, Trigonometria, etc, pela maioria de nós. Não desenvolvemos mais a forma natural de pensar geométrica (e eu, caramba, já a tenho bem enferrujada). Mas tenho saudades do tempo em que a gente matava problemas com homotetias, reflexões, rotações, simetrias, inversões, etc e quando as tais das linhas mágicas que adoramos não eram tão mágicas assim (antes que algum ofendido se manifeste, não estou falando de exceções). Hoje, a garotada rala para encontar espaços onde possa desenvolver tais conceitos e habilidades.
Por isto eu tento despertar este "modo de pensar" em meus alunos, quando posso. Finalizando: para a gente perceber que estas habilidades estão em outro registo do cérebro. Dois de meus filhos fizeram engenharia (fora euzinho) e um, medicina. Pois curiosamene, o médico possui mais visão espacial que nós três juntos. Jamais conseguimos ganhá-lo num maldito joguinho do tipo Tetrix Tridimensional. O miserável era (e é) imbatível. Vivendo e aprendendo...
Abração e boa diversão
Nehab
At 17:38 31/8/2006, you wrote:
Oi Nehab,
muito bom que voce tenha sido "mordido" pelo problema...mas nao faco ideia de como resolve-lo usando complexos!
Em vez disso, minha solucao e' bem "mequetrefe", e so' usa material do 4o ginasial...:-)
(hummm, na verdade tem uma passagem um pouquinho mais avancada - coisa do 3o cientifico, talvez)
Grande abraco,
Rogerio Ponce
Carlos Eddy Esaguy Nehab <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
- Oi, gente,
- Não é por nada não mas este problema tem TODA pinta de morrer por rotação (complexos)... mas cadê tempo agora? Rede o triângulo de 60 graus e...
- Oi. Ponce, se você tá com tempo, mostre que eu estou com a razão (mesmo sem estar com a solução) !!! :-)
- Abraços,
- Nehab
- At 14:58 31/8/2006, you wrote:
- Oi, Ítalo,
- E de onde você infere, tão singelamente, que ML // AB?
- Abraços,
- Nehab
- At 09:12 31/8/2006, you wrote:
- É que não tenho desenhar agora para ilustrar melhor, mas a resposta sai pelos ângulos internos e externos, o grande lance é que ML//AB necessariamente, logo o o ang interno q MK faz AK deve ser o mesmo que MK faz com KL (60°). Aplicando isso para os demais ângulos temos que os três angulos de ABC são 60° logo ABC é equilátero.
- Até +,
- Ítalo
- fernandobarcel <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
- Oi,
- ele parece muito simples, mas faz meses que estou tentando, e não consigo resolver esse problema. Será que mais alguém tentou/conseguiu? Como é que se resolve este pesadelo?
- Num triângulo ABC marcam-se os pontos K,L e M sobre os lados AB, BC e CA, respectivamente, tal que AK, BL e CM tenham o mesmo comprimento.
- Verifica-se que o triângulo KLM é equilátero.
- Prove que o triângulo ABC é equilátero.
- Obrigado!
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- Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
- http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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