Nesse caso, eh 240. Se p > 5 entao 5 | p^4 - 1 (pequeno Fermat). Alem disso, todo primo >= 5 eh da forma 3k +/- 1. Logo, p-1 ou p+1 eh multiplo de 3. Finalmente os multiplos de 2: p^2+1, p-1 e p+1 sao pares. Mas um dentre p-1 e p+1 eh tambem multiplo de 4. Logo, p^4-1 eh multiplo de 16. Assim, 16*3*5 = 240 divide p^4 - 1.
Agora, 7^4 - 1 = 2400 e 11^4 - 1 = 14640. Mas mdc(2400,14640) = 240. Logo, 240 eh o maior inteiro que divide todos os numeros da forma p^4 - 1 com p primo e > 5. *** Na mesma linha proponho um novo problema: Qual o maior inteiro N que eh divisivel por todos os inteiros positivos inferiores a raiz(N)? []s, Claudio. ---------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [email protected] Cópia: Data: Thu, 31 Aug 2006 17:22:05 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Primo e divisor > Oi, > > Você deve ter razão quanto à formulação mas trivialmente sua solução > pode ser melhorada para 120 (embora o mérito seja seu), pois > > p^4 - 1 = (p^2 +1)(p -1 )(p+1) que é (obviamente) divisível por 8 e > além disso, p-1 ou p+1 é divisível por 3. Mas na verdade p-1 ou p +1 > são divisíveis por 4. Logo... vale a melhoria 120, mas também não > sei como melhorá-la mais um pouquinho nem poucão... > > Abraços, > Nehab > > At 12:47 31/8/2006, you wrote: > >Eu acho que outros nao se interessaram pela questao por ela estar > >mal formulada. > > > >Se a resposta e pra ser dada em funcao de p entao obviamente p^4 - 1 > >e a resposta. > > > >Se a pergunta e o maior inteiro que garantidamente divide p^4-1 pra > >qualquer p primo > 5 entao acho que a resposta e 10. > > > >p^4-1 = 0 mod 2 > >p^4-1 = 0 mod 5 > >ja que pelo pequeno teorema de fermat, com a e p co-primos > >vale a^(p-1) = 1 mod p. > > > >Logo 10 e garantidamente um divisor de p^4-1 pra qualquer p. Mas > >certamente nao vai ser o maior divisor. > > > > > >>From: its matematico <[EMAIL PROTECTED]> > >>Reply-To: [email protected] > >>To: [email protected] > >>Subject: Re: [obm-l] Primo e divisor > >>Date: Thu, 31 Aug 2006 15:06:13 +0000 (GMT) > >> > >>Acho q tenho uma solução razoável: > >> > >> se p é primo e p>5 então p é ímpar, sendo assim p^4 é ímpar, > >> logo p^4-1 é par > >> e sendo assim o maior inteiro q divide p^4-1 é: (p^4-1)/2 > >> > >> Alguma objeção à resposta??? > >> > >> Espero ter contribuído... > >> Até +, > >> Ítalo > >> > >>João Luís Gomes Guimarães <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > >> Se isso fosse uma questão de prova, eu responderia que o maior inteiro > >> que > >>divide p^4 - 1 é...... p^4 - 1 !!!!! e ninguém poderia colocar objeção, > >>hehehehehe... mas é claro, apesar de não ter sido explicitado, que a solução > >>procurada exclui o próprio p^4 - 1. > >> > >>Apenas uma brincadeirinha pra descontrair. Vou pensar na solução aqui e, se > >>a encontrar, posto depois. > >> > >>Abraços, > >> > >>João Luís. > >> > >> > >>----- Original Message ----- > >>From: "Ricardo Khawge" > >>To: > >>Sent: Thursday, August 31, 2006 8:51 AM > >>Subject: [obm-l] Primo e divisor > >> > >> > >> > Eu e colega estamos resolvendo alguns problemas e não conseguimos fazer > >> > um deles. Ele pediu ajuda mas ninguém se interessou pelo problema, não > >> > sei > >> > se é por ser muito fácil. Se puderem dar uma ajuda estamos postando aqui > >> > e agradecemos qualquer colaboração. > >> > > >> > "Determine o maior inteiro que divide p^4 - 1, onde p é um primo maior > >> > que > >> > 5." > >> > > >> > Tchau > >> > > >> > _________________________________________________________________ > >> > Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta- grátis. > >> > Acesse > >> > > >> http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d > >> > > >> > ========================================================================= > >> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >> > ========================================================================= > >> > >> > >>========================================================================= > >>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >>========================================================================= > >> > >> > >> > >>--------------------------------- > >> Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! > > > > > >========================================================================= > >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >========================================================================= > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
