Nesse caso, eh 240. 
Se p > 5 entao 5 | p^4 - 1 (pequeno Fermat).
Alem disso, todo primo >= 5 eh da forma 3k +/- 1. Logo, p-1 ou p+1 eh multiplo 
de 3.
Finalmente os multiplos de 2:
p^2+1, p-1 e p+1 sao pares. Mas um dentre p-1 e p+1 eh tambem multiplo de 4.
Logo, p^4-1 eh multiplo de 16.
Assim, 16*3*5 = 240 divide p^4 - 1.

Agora, 7^4 - 1 = 2400  e 11^4 - 1 = 14640.
Mas mdc(2400,14640) = 240.

Logo, 240 eh o maior inteiro que divide todos os numeros da forma p^4 - 1 com p 
primo e > 5.

***

Na mesma linha proponho um novo problema:
Qual o maior inteiro N que eh divisivel por todos os inteiros positivos 
inferiores a raiz(N)?

[]s,
Claudio.
  
---------- Cabeçalho original -----------

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Thu, 31 Aug 2006 17:22:05 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Primo e divisor

> Oi,
> 
> Você deve ter razão quanto à formulação mas trivialmente sua solução 
> pode ser melhorada para 120 (embora o mérito seja seu), pois
> 
> p^4 - 1 = (p^2 +1)(p -1 )(p+1)  que é (obviamente) divisível por 8 e 
> além disso, p-1 ou p+1 é divisível por 3. Mas na verdade p-1 ou p +1 
> são divisíveis por 4.  Logo... vale a melhoria 120, mas também não 
> sei como melhorá-la mais um pouquinho nem poucão...
> 
> Abraços,
> Nehab
> 
> At 12:47 31/8/2006, you wrote:
> >Eu acho que outros nao se interessaram pela questao por ela estar 
> >mal formulada.
> >
> >Se a resposta e pra ser dada em funcao de p entao obviamente p^4 - 1 
> >e a resposta.
> >
> >Se a pergunta e o maior inteiro que garantidamente divide p^4-1 pra 
> >qualquer p primo > 5 entao acho que a resposta e 10.
> >
> >p^4-1  = 0 mod 2
> >p^4-1 =  0 mod 5
> >ja que pelo pequeno teorema de fermat, com a e p co-primos 
> >vale  a^(p-1) = 1 mod p.
> >
> >Logo 10 e garantidamente um divisor de p^4-1 pra qualquer p.  Mas 
> >certamente nao vai ser o maior divisor.
> >
> >
> >>From: its matematico <[EMAIL PROTECTED]>
> >>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >>To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >>Subject: Re: [obm-l] Primo e  divisor
> >>Date: Thu, 31 Aug 2006 15:06:13 +0000 (GMT)
> >>
> >>Acho q tenho uma solução razoável:
> >>
> >>   se p é primo e p>5 então p é ímpar, sendo assim p^4 é ímpar, 
> >> logo p^4-1 é par
> >>   e sendo assim o maior inteiro q divide p^4-1 é: (p^4-1)/2
> >>
> >>   Alguma objeção à resposta???
> >>
> >>   Espero ter contribuído...
> >>   Até +,
> >>   Ítalo
> >>
> >>João Luís Gomes Guimarães <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> >>   Se isso fosse uma questão de prova, eu responderia que o maior inteiro 
> >> que
> >>divide p^4 - 1 é...... p^4 - 1 !!!!! e ninguém poderia colocar objeção,
> >>hehehehehe... mas é claro, apesar de não ter sido explicitado, que a solução
> >>procurada exclui o próprio p^4 - 1.
> >>
> >>Apenas uma brincadeirinha pra descontrair. Vou pensar na solução aqui e, se
> >>a encontrar, posto depois.
> >>
> >>Abraços,
> >>
> >>João Luís.
> >>
> >>
> >>----- Original Message -----
> >>From: "Ricardo Khawge"
> >>To:
> >>Sent: Thursday, August 31, 2006 8:51 AM
> >>Subject: [obm-l] Primo e divisor
> >>
> >>
> >> > Eu e colega estamos resolvendo alguns problemas e não conseguimos fazer
> >> > um deles. Ele pediu ajuda mas ninguém se interessou pelo problema, não 
> >> > sei
> >> > se é por ser muito fácil. Se puderem dar uma ajuda estamos postando aqui
> >> > e agradecemos qualquer colaboração.
> >> >
> >> > "Determine o maior inteiro que divide p^4 - 1, onde p é um primo maior 
> >> > que
> >> > 5."
> >> >
> >> > Tchau
> >> >
> >> > _________________________________________________________________
> >> > Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta- grátis.
> >> > Acesse
> >> > 
> >> http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d
> >> >
> >> > =========================================================================
> >> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >> > =========================================================================
> >>
> >>
> >>=========================================================================
> >>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >>=========================================================================
> >>
> >>
> >>
> >>---------------------------------
> >>  Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
> >
> >
> >=========================================================================
> >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >=========================================================================
> 
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
> 
> 


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================

Responder a