Olá,
 
paulo = esposa + filha + filho, que é um quadrado perfeito
pai = paulo + esposa + filha, que é primo!
 
bom, paulo = x^2, esposa = y^2, filha = z^2, filho = r^2, pai = t
 
x^2 = y^2 + z^2 + r^2, todos inteiros... daqui, temos x > y.
 
t = x^2 + y^2 + z^2 é primo.... ou: t = 2 * (y^2 + z^2) + r^2 é primo...
ou: t = 2x^2 - r^2
 
o unico par primo é 2.. logo: ou t = 2, ou, t é impar...
como é um absurdo ser 2, entao, o t é impar, logo, r^2 é impar... logo: r é impar!
 
ok....
como x^2 é a idade do paulo, e y^2 é a idade da esposa, entao:
 
z < x, r < x, z < y, r < y...
 
como t é a idade do pai de paulo, entao: x^2 < t
 
mas todos sao menores que 120, logo, sao menores que 121.. assim:
x < 11, y < 11, z < 11, r < 11 ...
 
mas r é impar, logo: r = 1, 3, 5, 7, 9 ...
se r = 9, entao: x = y = 10 .. absurdo, pois x > y
se r = 7, entao: x = 9, 10 e y = 8, 9, 10 .... pegando os menores valores, temos: t > x^2 + y^2 = 81 + 64 = 144 > 120.. absurdo!
logo: r = 1, 3, 5 .....
 
como y < x ... x <= 10... entao: y < 10
 
se z = 7, 8, 9, 10, entao: x^2 + y^2 + z^2 > 3z^2 > 3 * 7^2 = 147 ... logo t > 147, absurdo!
assim: z < 6
 
se x = 1, temos que y = 1, absurdo!
se x = 2, temos que y = 1, r = 1, z = 1, absurdo!
se x = 3, temos que y = 2, r = 1, z = 1 ... mas x^2 = 9 != y^2 + z^2 + r^2 = 6, absurdo!
se x = 4, temos:
    y = 3 .... 16 = 9 + z^2 + r^2 ... z^2 + r^2 = 7 .... r e z podem ser 1 ou 2 ... impossivel.. logo, absurdo!
    y = 2 .... 16 = 4 + z^2 + r^2 ... z^2 + r^2 = 12 .... r e z podem ser 1 ou 2 ... impossivel.. logo, absurdo!
    logo, x != 4
se x = 5, temos:
    y = 4 .... 25 = 16 + z^2 + r^2 ... z^2 + r^2 = 9 ... r e z podem ser 1, 2 ou 3 ... impossivel.. logo, absurdo!
    y = 3 .... 25 = 9 + z^2 + r^2 .... z^2 + r^2 = 16 ... r e z podem ser 1 ou 2 ... impossivel.. logo, absurdo!
    y = 2 .... 25 = 4 + z^2 + r^2 .... z^2 + r^2 = 21 ... r = z = 1 ... absurdo!
    logo, x != 5
se x = 6, temos:
    y = 5 ... 36 = 25 + z^2 + r^2 ... z^2 + r^2 = 11 ... r e z podem ser 1, 2, 3, 4 ... impossivel.. logo, absurdo!
    y = 4 ... 36 = 16 + z^2 + r^2 ... z^2 + r^2 = 20 ... r e z podem ser 1, 2, 3 ... impossivel.. logo, absurdo!
    y = 3 ... 36 = 9 + z^2 + r^2 ... z^2 + r^2 = 27 ... r e z podem ser 1, 2 ... impossivel, logo, absurdo!
    y = 2 ... 36 = 4 + z^2 + r^2 ... r^2 + z^2 = 32 ... r = z = 1... absurdo!
    logo x != 6
se x = 10, temos:
    t = x^2 + y^2 + z^2 < 120 .... y^2 + z^2 < 20 .... y^2 < 20 .... y < 5
    100 = y^2 + z^2 + r^2
        se y = 4, o maior valor de y^2 + z^2 + r^2 = 34, absurdo!
        se y = 3, o maior valor de y^2 + z^2 + r^2 = 14, absurdo!
        se y = 2, y^2 + z^2 + r^2 = 6, absurdo!
    logo, x != 10
se x = 9, temos:
    t = x^2 + y^2 + z^2 < 120 ... y^2 + z^2 < 39 ... y^2 < 39 ... y < 7
    81 = y^2 + z^2 + r^2
        se y = 6... r^2 + z^2 = 45 ... se r = 1, z^2 = 44 ... se r = 3, z^2 = 36, mas t = 153 = 3 * 51 ... se r = 5, z^2 = 20, absurdo!
        se y = 5... r^2 + z^2 = 56 ... se r = 1, z^2 = 55 ... se r = 3, z^2 = 47 ... se r = 5, z^2 = 31, absurdo!
        se y = 4... r^2 + z^2 = 65 ... mas r^2 + z^2 <= 18 ... absurdo!
        se y = 3... r^2 + z^2 = 72 ... mas r^2 + z^2 <= 5 ... absurdo!
        se y = 2... r^2 + z^2 = 77 ... mas r = z = 1 ... absurdo!
    logo, x != 9
se x = 8, temos:
    t = x^2 + y^2 + z^2 < 120 ... y^2 + z^2 < 56 ... y^2 < 56 ... y < 8
    t = 2x^2 - r^2 = 2 * 64 - r^2 = 128 - r^2
        se r = 3.. t = 119 = 7 * 17, logo, r nao pode ser 3 neste caso.
        64 = y^2 + z^2 + r^2
            se y = 7... r^2 + z^2 = 15 ... se r = 1, z^2 = 14 ... se r = 5, z^2 = -10 ... absurdo!
            se y = 6... r^2 + z^2 = 28 ... se r = 1, z^2 = 27 .. se r = 5, z^2 = 3 ... absurdo!
            se y = 5... r^2 + z^2 = 39 ... se r = 1, z^2 = 38 ... se r = 5, z^2 = 14 .. absurdo!
            se y = 4... r^2 + z^2 = 48... mas r^2 + z^2 < 18.. absurdo!
            se y = 2... r^2 + z^2 = 62... mas r = z = 1 ... absurdo!
    logo, x != 8
 
assim.. x = 7... mas t = 2*x^2 - r^2 = 2 * 49 - r^2 = 98 - r^2
se r = 1, temos: t = 97
se r = 3, temos: t = 89
se r = 5, temos: t = 73
todos primos...
 
 
cheguei até aqui... tem que testar alguns casos pra terminar..
 
resumo:
x = 7
1 < y < 7
0 < z < 6
r = 1, 3, 5
 
abracos,
Salhab
 
 
 
----- Original Message -----
From: Italo
Sent: Saturday, September 09, 2006 11:27 AM
Subject: [obm-l] OCM

Olá gente,
 
Aí vai um da OCM:
 
Moram com Paulo seu pai, sua esposa, seu filho e sua filha. Um recenseador ao chegar à casa de Paulo perguntou:
‘Qual a idade das pessoas que moram aqui?’. Paulo respondeu: ‘Todas as nossas idades, exceto a idade de meu pai que é um número primo, são quadrados perfeitos. Minha idade é a soma das idades de minha esposa, minha filha e meu filho. A idade de meu pai é a soma da minha idade com a idade de minha esposa e minha filha’. Ajude o recenseador a determinar as idades das pessoas que moram na casa de Paulo.
OBS: Suponha que nenhuma das pessoas envolvidas tenha mais que 120 anos
 
   Resolvi esse execício (de forma nada elagante) e cheguei nas seguinte idades para:
Pai: 89
Paulo: 49
Esposa: 36
Filho:9
Filha: 4
   Gostaria de saber um "jeito" formal de resolvê-lo....
 
Obrigado,
Até +
Ítalo


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