Acho que isso eh o limite da sequencia obtida aplicando-se recursivamente a funcao f(u) = sqrt(6 + sqrt(u)). Como esta funcao é continua para u >0, se esta sequencia convergir para um limite x, entao x eh ponto fixo de f e, portanto, raiz da equacao x = sqrt(6 + sqrt(x)). Podemos mostrar que esta seq. eh limitada e monotonicamente decrescente, de modo que converge. Mas seu limite eh =~2,768364.
 
Artur
 

 -----Mensagem original-----
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Tio Cabri st
Enviada em: quarta-feira, 13 de setembro de 2006 06:30
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] ajuda

x = sqrt(6 + sqrt(6 + sqrt(6 + ...))).
foi essa que eu quis fazer
Eleve ao quadrado a equação x= sqr...
subtraia da equação x
x^2-x-6=0
raízes -2 e 3 so serve 3 então resposta 3/5
abraços
----- Original Message -----
Sent: Tuesday, September 12, 2006 11:34 PM
Subject: Re: [obm-l] ajuda

Oi.
Resposta rápida: tá estranha essa pergunta.

Vou inicialmente explicar pq está estranha essa pergunta, e depois mostrar como a gente pode reformular ela para que ela tenha sentido e possa ser respondida.

Quando vc utiliza "..." numa soma, vc precisa deixar bem claro o que isso significa. Em alguns casos, o significado é evidente, por exemplo:
x = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...
Claramente, x é a soma da PG de razao 1/2, com termo inicial igual a 1.
Então x é um número real, já que soma de PG com razão menor que 1, em módulo, converge para a_1 / (1 - q). Em particular, x = 2.
Agora podemos definir um número y = x + 2, pois o sinal "+" só faz sentido (neste contexto) quando colocado entre números reais.

Quero dizer o seguinte: vc não pode somar 2 a uma coisa que não é um número, não pode somar 2 a algo que não exista.

Veja:

x = sqrt(6) + sqrt(6) + sqrt(6) + ...

O jeito mais natural de se definir esse "..." seria assim: "vai somando sqrt(6) sem parar". Matematicamente, precisamos dar algum grau de rigor a essa expressão, da seguinte maneira:

Seja a_n uma seqüência definida por a_n = sqrt(6).
Seja agora s_n uma outra seqüência definida por s_n = a_1 + a_2 + ... + a_n  (note que aqui o "..." está bem definido e s_n é um número real, que vc pode explicitar facilmente)
Para evitar usar os "...", vc pode também dizer que s_n = sum (i=1..n) a_i, ou seja, o n-ésimo elemento da seqüência s_n é a soma dos n primeiros elementos da seqüência a_n.

Dizemos que s_n é a soma parcial da série numérica associada à seqüência a_n.

Pra que toda essa enrolação?
Pra dizer o seguinte: o seu número x = sqrt(6) + sqrt(6) + ... pode ser definido como o limite da seqüência s_n, quando n tende a infinito. Agora temos uma definição rigorosa do x.

MAS quanto vale o limite? O limite não existe, pois não existirá algum número real do qual vc vá se aproximando ao avançar mais na seqüência s_n, ela vai sempre crescendo indefinidamente. Então podemos ou dizer que o limite não existe, ou então que é infinito (que é apenas uma das razões pelas quais um limite pode não existir).

Assim, o seu "número" x não é um número, e portanto não faz sentido colocar o sinal de "+" entre x e o 2.

Se vc quiser viajar um pouco, vc até tem como definir esse x como um número hiperreal (que é uma extensão dos reais para englobar numeros infinitamente grandes (e inclusive classifica-los ordenadamente) e infinitamente pequenos), e aí vc diz que x e 2 são números hiperreais e pode fazer todas as suas contas do tipo x + 2 e x / y.

Mas isso é viagem demais e eu não sei trabalhar com hiperreais. Esse conjunto já foi discutido há algum tempo aqui na lista, e talvez alguém com mais conhecimento possa explicar para você.





A gente pode tentar reformular sua pergunta para dar algum significado e sentido ao exercício.
Não defina x = sqrt(6) + sqrt(6) + ..., pq, como já vimos, isso não é número, aí não podemos somar 2 a ele.
Defina entretando o número r_n como sendo a razão entre os números x_n e y_n, onde:
x_n = sqrt(6) + sqrt(6) + ... + sqrt(6)    (n vezes)
y_n = x_n + 2

Note que agora x_n está bem definido: x_n = n * sqrt(6), que é um número real, para qualquer n natural.
Da mesma forma, y_n está vem definido e vale n * sqrt(6) + 2.
Alem disso, definidos, assim, os números de forma bem parecida com o que vc escreveu, então acho que podemos acordar que seja uma interpretação razoável para o enunciado.

Então r_n = n*sqrt(6) / (n*sqrt(6) + 2)

Agora sua pergunta é: quanto vale lim (n->oo) r_n?

Para calcular tal limite, divida por n em cima e em baixo e use propriedades básicas de limite:
r_n = sqrt(6) / (sqrt(6) + 2/n), para todo n >= 1.
lim sqrt(6) / (sqrt(6) + 2/n) = 1, já que 2/n tende a 0 e o denominador tende portanto a sqrt(6), e o numerador tende a sqrt(6).




Outra maneira de reformular a pergunta, usando uma interpretação semelhante àquela do Tio Cabri, é escrever:
x = sqrt(6 + sqrt(6 + sqrt(6 + ...))).
Acho que há 2 ou 3 semanas houve aqui na lista uma discussão a respeito de como calcular o valor desse tipo de seqüências, em que falei de um teorema pra isso. Procure nos seus arquivos, ou nos do site do Prof. Nicolau, moredador da lista. O endereço está no final do email.




Abraço
Bruno


ps: tio cabri, definindo x_n = sqrt(6) . sqrt(6) . ... . sqrt(6), e y_n = x_n + 2, temos:
r_n = x_n / y_n = sqrt(6)^n / (sqrt(6)^n  +  2)
Divida por sqrt(6)^n, em cima e em baixo:
r_n = 1 / (1 + 2 / sqrt(6)^n)
Logo, o limite também é igual a 1, e não 3/5.

Acho que vc quis dizer que fez o exercício como se fosse sqrt(6*sqrt(6*sqrt(6* ... ))). O jeito de resolver isso, "estando no bar", é fazer:
x^2 = 6 * sqrt(6 * sqrt(6 * ...)) = 6x
Então x = 0 ou x = 6, aí y = 8, e a razão é 8/6 = 4/3.
Para justificar isso, veja a discussão a que me referi acima.


On 9/12/06, Aron <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Olá
 
alguém sabe como resolver esta?
 
Se x=sqrt(6)+sqrt(6)+sqrt(6)+... e y=x+2, então qual é a razão entre x e y?
 
grato.
Aron



--
Bruno França dos Reis
email: bfreis - gmail.com
gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
icq: 12626000

e^(pi*i)+1=0

Responder a