Tentando esclarecer isso aqui um pouquinho. De modo um tanto informal, consideremos uma funcao definida em um subconjunto dominio D dos reais e com valores tambem nos reais. Seja a um ponto de acumulacao de D, isto eh um ponto que pode ou nao pertencer a D e que apresenta a prppriedade de que qualquer intervalo aberto contendo a, por menor que seja seu comprimento, contem um elemento de D distinto do proprio a. Informalmente falado, eh um ponto "colado" no conjunto.
Dizemos que f apresenta limite L em a se, atribuindo-se a x valores suficientemente proximos de a, conseguirmos fazer com que a imagem f(x) esteja tao proxima de L quanto quisermos. Podemos pensar no processo de limite como um jogo: Vc defende a tese de que lim (x -> a) f(x) = L. Seu adversario quer derrubar esta tese. Em cada lance ele apresentar um valor positivo de epsilon, aquela letra grega tradicionalmente usada nos processos de limite (epsilon nada tem de cabalistico, designa simplesmente um numero positivo. O fato de se usar epsilon eh porque Lebinitz assim fez seculos atras e a moda pegou). Vc, em contra partida, deve apresentar um valor de delta (outra letra grega que pareceu simpatica a Leibinitz e que tambem resistiu aos seculos) tal que, se a sua variavel x for diferente de a e satisfizer a |x - a| < delta, entao a imagem da funcao f(x) devera satisfazer a |f(x) - L| < epsilon. Se em algum lance vc nao conseguir apresentar o adequado valor de delta, entao vc perdeu. E para vc ganhar, eh necessario que vc consiga encontra um adequado valor de delta qualquer que seja o epsilon dado pelo seu adversario. Aparentemente eh um jogo injusto para vc, mas se for realmente verdade que lim (x ->a) f(x) = L, entao seu adversario pode passar a eternidade produzindo epsilons que vc sempre tera um adequado valor para delta. O unico problema eh que vc nmao vivera o suficiente para usufuir o premio. Vejamos um exemplo bem simples, o da funcao f(x) = x. Eu afirmo que lim (x -> 0) f(x) = 0. Verificamos facialmente que, para que |f(x) - 0| = |f(x)| < epsilon, basta fazermos |x| < epsilon. Neste caso simples, basta fazer delta = epsilon. Assim, sempre que meu adversario apresentar um epsilon, eu simplesmente faco delta = epsilon e ganho todos os lances. Agora, ainda para a funcao f(x) = x, suponhamos que alguem defenda que lim (x -> 0 ) f(x) = 1. Para derruba-lo, basta apresntar um valor de epsilon para o qual ele nao consiga um delta adequado. Logo no primeiro lance eu apresento epsilon = 0,5. Ora, para |x| < 0,5, temos |f(x) - 0| = |f(x)| = |x| < 0,5, de modo que |f(x) -1| = |x -1| > 0,5 = epsilon . Por menor que seja o delta que meu adversario apresente, em (- delta, delta) sempre havera valores de x para os quais |f(x) - 1| > epsilon, ficando assim derrubada a hipotese de que lim (x -> 0 ) f(x) = 1. Eu ganho o jogo logo no primeiro lance. Por mais complicada que seja a funcao, o chamado processo epsilon delta de limite eh sempre asim. Existem outras definicoes de limite, mas no caso de funcoes de R em R sao sempre equivalentes aa definicao epsilon delta. Existem ainda limitres quando a variavel nao tende a um numero real, mas stende a + oo ou - oo. O tratamento eh similar. Abracos Artur ashington <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Estou com dificuldade em entender limites. Poderiam > me dar um conceito mais realista? Tenho um livro de > cálculo e não me ajudou. Pesquisei na internet e as > apostilas trazem aquela mesma teoria que os mortais > não entendem. > > Conceito de limite(retirado de um site em inglês): > "Um função f(z) tem um limite lim(z->a) f (z)=c se > para todo e>0 que existe um o(um símbolo parecido > com "o" que não dá pra digitar aqui) >0 de tal forma > que | f (z) - c| < e quando 0 < | z-a | < > o(novamente um símbolo parecido com "o" que não dá > pra digitar aqui) e . Essa definição é chamada às > vezes de "definição delta ipsilon"." > > Eu sei o que é uma função. São por exemplo,dois > diagramas(conjuntos) A e B,com números que se > associam. Fazer pontos num plano cartesiano eu sei. > Até aí está claríssimo. Agora,entender o que é uma > função f(z),é outra história. O que significa? Z é > um número qualquer? Caso seja,o que significa > lim(z-> a)? E f (z)=c para todo e>0?? Não sei o que > é f(z)=c nem e>0. Quem é "e"? > > Com tantas indagações,podem pensar que não > estudo,que quero moleza ou qualquer outro pensamento > similar. Não. Eu estudo,curso ciência da > computação,tenho livros de cálculo I à > disposição,mas como eu disse,não me ajudaram em > nada. Por que? É só pensar bem: se eu não entendo > nem os conceitos,vou entender o resto? > Meu professor é meio soberbo e não se preocupa com > os alunos. Como posso aprender essas coisas? > Usando minhas palavras,a explicação que ele deu foi > que o cálculo de limite é um cálculo pra achar um > número próximo,mas nunca igual a outro. Disse também > que a igualdade é algo muito exigente(claro) e que o > limite é mais maleável,pois cada vez mais pode-se > aproximar um número de zero(um número tende a > outro,mas nunca é igual). Com essas informações,as > pessoas achariam que sou uma pessoa preparada pra > resolver questões de limite. Não sou. Diante de uma > questão como > Calcule o limite: > lim(x->3) x³-27/x-3 não sei como começar. A cada > limite dado,de acordo com o que vi ele fazer na > lousa alguns exemplos,usa outro tipo de fórmula(ou > teorema) um diferente da outra. (Ele vem ensinando > isso desde o início de agosto,quando as aulas > começaram e até agora,ainda não sei resolver limites > e está começando a passar derivadas. Não estou com > disposição pra ser reprovado e começo a me > estressar). > No livro de cálculo tem mais de 14 teoremas,sendo > que,como eu já disse,essas teorias me deixam mais > confuso do que qualquer outra coisa. > Vou explicitar algumas contidas no livro: > Teorema de limite 1: > se m e b são constantes quaisquer, > lim(x->a) (mx+b)=ma+b > > m e b,entendo como sendo números. Certo,mas em que > isso me ajuda a entender? > Constantes. Que constantes? Números que são sempre > os mesmos,nunca mudam? > > Teorema de limite 2: > Se C é uma constante,então para qualquer número a, > lim(x->a) C=C > (fiquei na mesma,ajudou nada) > > Teorema de limite 3: > > lim(x->a) x=a > (idem(não ajuda) ) > > Supondo que só existissem esses três teoremas,como > eu saberia qual deles usar pra resolver esse limite? > > lim(x->3) x³ -27/x-3 > > Existem outras situações que meu prof. diz que > deve-se resolver fatorando,mas fatorando o quê? Em > outros,ele diz pra resolver procurando a maior > potência. > Em suma,não tenho problemas mentais. Apenas sou um a > mais que não entende de limite,mas que quer > aprender,sendo que,com o que é ensinado,é > insuficiente. Estou ciente que a matemática se > baseia em muitas teorias,mas por que não > simplificar,de modo que pessoas leigas entendam pelo > menos o caminho a seguir? > > Finalizando,eu tive que expôr toda minha situação > pra que possam ter idéia do problema. > > Muito obrigado desde já e agradeço também a > paciência na leitura. > > Washington > > __________________________________________________ > Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! > Messenger > http://br.messenger.yahoo.com/ __________________________________________________ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
