Bem, como este exercício está rendendo, pro pessoal de segundo grau
ai vai a solucao padrao...
Pressupõe-se que conheçam as igualdades básicas
cos p + cos q = 2cos(p+q)/2 . cos(p-q)/2
cos p - cos q = -2sen (p+q)/2 . sen(p-q)/2
e 1 - cosp = 2.(sen p/2)^2
Provar que cos(a) + cos(b) + cos(c) = 1 + 4*sen(a/2)*sen(b/2)*sen(c/2)
onde a+b+c = 180
Partindo de cos (a) + cos(b) + cos (c) -1 , vem:
cos (a) + cos(b) + cos (c) -1 = [cos(a) + cos(b)] - [1 - cos(c)]
cos (a) + cos(b) + cos (c) -1 = [2cos (a+b)/2 . cos(a-b)/2
] - [ 2(sen c/2) ^2 ]
Como (a+b)/2 = 90-(c/2), segue-se que tais arcos são complementares;
logo, cos(a+b)/2 = sen c/2
cos (a) + cos(b) + cos (c) -1 = 2 sen c/2 [ cos(a-b)/2 -
cos (a+b)/2 ]
cos (a) + cos(b) + cos (c) -1 = 2 sen c/2 . [-2 sen (2a)/2
. sen (-2b)/2]
Dai, igualdade provada..
Nehab
At 22:09 16/10/2006, you wrote:
Oi gente, agora que tenho um tempinho posso escrever a
outra solução.
Considere um triângulo com ângulos internos A/2, B/2 e
90 + C/2. Pela Lei dos Senos, se o circunraio do
triângulo é 1/2, seus lados medem sen(A/2), sen(B/2) e
sen(90+C/2) = cos(C/2). Pela Lei dos Co-senos,
cos^2(C/2) = sen^2(A/2) + sen^2(B/2)
- 2sen(A/2)sen(B/2)cos(90+C/2)
Como cos(90+C/2) = -sen(C/2), cos^2(x/2) = (1+cosx)/2
e sen^2(x/2) = (1-cosx)/2, obtemos
(1+cos C)/2 = (1-cos A)/2 + (1-cos B)/2
+ 2sen(A/2)sen(B/2)sen(C/2)
e aí é só mexer na continha acima para chegar ao
resultado.
[]'s
Shine
--- Carlos Eddy Esaguy Nehab <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Oi, Luiz e Eduardo,
>
> Ué ! não gostei :-( !!! Achei a solução sugerida
> inadequada !!! Não entendi o mérito da solução NÃO
> usar \sum tan
> = \prod tan mas usar 4 relações que dependem de
> muito mais
> conhecimento que a referida relação entre as
> tangentes.
>
> Aliás, a solução que eu sugeri (que não tem nada
> que haver com as
> duas anteriores) não possui nenhum mérito, é
> absolutamente clássica e
> está em qq livro de trigonometria. Mas não entendo
> porque vocês
> acharam a relação r = S/s =
> 4Rsen(A/2)*sen(B/2)*sen(C/2) mais
> simples que a relação entre as tangentes,
> demonstrável em 3 linhas e
> que usa apenas conhecimento primário de
> trigonometria !
>
> Abraços,
> Nehab
>
> At 11:02 16/10/2006, you wrote:
> >Sauda,c~oes,
> >
> >Mandei este problema para o Eduardo, o outro autor
> do
> >Manual de Trigonometria 2a. ed, com a solução acho
> que
> >do Nehab para fazer parte do livro. E ele veio com
> esta
> >nova solução. Acho que o Morgado teria gostado de
> >ambas.
> >
> >Fui aluno dele no ano 1971, no vestibular do Curso
> Vetor.
> >Dava aulas de combinatória (foi aí que comecei a
> entender
> >a diferença entre combinações e permutações),
> números
> >complexos e polinômios. Atribuo a ele e suas
> apostilas meu
> >descobrimento de uma matemática interessante,
> diferente
> >do que havia visto até então. Tive muita sorte em
> tê-lo
> >tido como professor.
> >
> >[]'s
> >Luís
> >
> >P.S.: imagino que a RPM, SBM, FGV, IMPA etc farão
> algum
> >necrológio escrito para ele. Sugiro que as
> declarações nas
> >mensagens desta lista façam parte dele.
> >
> >
> >On Monday 09 October 2006 09:58, you wrote:
> >cos(a) + cos(b) + cos(c) = 1 +
> 4*sen(a/2)*sen(b/2)*sen(c/2)
> >com a + b + c =180° (angulos internos de um
> triangulo)
> >
> >Oi Luís,
> >
> >Sei que é feriadão. É só pra dizer que realmente
> sai como falei,
> >mas sem precisar usar que \sum tan = \prod tan.
> >
> >Sejam (A, B, C) ângulos e (a, b, c) lados de um
> triângulo T.
> >Sabe-se que:
> >1. Lei dos co-senos: a² = b² + c² - 2bc cosA;
> (análogo para B e C)
> >2. Heron: S² = s(s-a)(s-b)(s-c), s=(a+b+c)/2;
> >3. raio do círculo circunscrito a T: R = abc/4S
> >raio do círculo inscrito em T: r = S/s =
> 4Rsen(A/2)*sen(B/2)*sen(C/2)
> >Prova:
> >cos A + cos B + cos C =
> >(b² + c² - a²) / 2bc + (a² + c² - b²) / 2ac + (a² +
> b² - c²) / 2ab =
> >[2abc + 8(s-a)(s-b)(s-c)] / 2abc = 1 +
> 4(s-a)(s-b)(s-c) =
> >1 + r / R = 1 + 4sen(A/2)*sen(B/2)*sen(C/2)
> Q.E.D.
> >
> >(referência utilizada: Manual de Trigonometria,
> Luís Lopes)
> >
> >Manda pra lista.
> >
> >Inté+,
> >
> >Edu.
> >
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