Expanda em fracoes parciais complexas: f(x) = 1/(x^k-1) = A(0)/(x-1) + A(1)/(x-w) + ... + A(k-1)/(x-w^(k-1)) (w = cis(2pi/k))
A n-esima derivada eh: f^(n)(x) = (-1)^n*n!*(A(0)/(x-1)^(n+1) + ... + A(k-1)/(x-w^(k-1))^(n+1)) Agora, se a eh uma das raizes de x^k-1 e se q_a(x) = (x^k-1)/(x-a), entao: q_a(x) eh um polinomio de grau k-1 tal que: se a = 1, q_a(1) = q_1(1) = k; se a <> 1, q_a(1) = 0. p(x) = (x^k-1)^(n+1)*f^(n)(x) = (-1)^n*n!*(A(0)*q_1(x)^(n+1) + A(1)*q_w(x)^(n+1) + ... + A(k-1)*q_w^(k-1)(x)^(n+1)) Logo, p(1) = (-1)^n*n!*A(0)*k^(n+1) Resta calcular A(0). 1/(x^k-1) = A(0)/(x-1) + A(1)/(x-w) + ... + A(k-1)/(x-w^(k-1)) ==> (x-1)/(x^k-1) = A(0) + A(1)*(x-1)/(x-w) + ... + A(k-1)*(x-1)/(x-w^(k-1)) Tomando limites quando x -> 1 em ambos os membros, obtemos: 1/k = A(0) + 0 ==> A(0) = 1/k Assim, finalmente, achamos p(1) = (-1)^n*n!*k^n. []s, Claudio. ---------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [email protected] Cópia: Data: Thu, 19 Oct 2006 12:00:48 +0100 Assunto: [obm-l] putnam 2002 > Alguem poderia me ajudar com a questão abaixo, > ela não parece difícil, acho que não estou manipulando as coisas como > deveriam ser para isolar o que preciso, > abraços, > > Jhonata > > > > k and n are positive integers. Let f(x) = 1/(xk - 1). Let p(x) = (xk - 1)n+1f > n(x), where fn is the nth derivative. Find p(1) > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
