---------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [email protected] Cópia: Data: Sun, 22 Oct 2006 11:22:23 -0200 Assunto: [obm-l] Demonstração
> Bom dia a todos! > > Como posso demonstrar que 2^p + 3^p, onde p é primo, somente pode ser > n^1, onde n é natural. Isto é, não pode ser n^2 ou n^3 ou... > Para p = 2, o resultado eh obvio, pois 2^2 + 3^2 = 13 = 13^1. Assim, suponhamos que p >= 3 e que 2^p + 3^p = n^k, para algum n natural e algum k >= 2. Como p eh impar, existe a fatoracao: n^k = 2^p + 3^p = (2 + 3)(2^(p-1) + 2^(p-2)*3 + 2^(p-3)*3^2 + ... + 3^(p-1)) ==> 5 divide n^k ==> 5 divide n ==> 5^k divide n^k ==> 5^k divide 2^p + 3^p ==> 5^(k-1) divide 2^(p-1) + 2^(p-2)*3 + 2^(p-3)*3^2 + ... + 3^(p-1) ==> como, por hipotese, k >= 2, 2^(p-1) + 2^(p-2)*3 + 2^(p-3)*3^2+ ... + 3^(p-1) == 0 (mod 5) ==> 2^(p-1) + 2^(p-2)*(-2) + 2^(p-3)*(-2)^2 + ... + (-2)^(p-1) == 0 (mod 5) ==> 2^(p-1)*(1 - 1 + 1 - ... + (-1)^(p-1)) == 0 (mod 5) ==> 2^(p-1)*1 = 2^(p-1) == 0 (mod 5) ==> contradicao. Logo, k nao pode ser >= 2. []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
