Não entendi o seu argumento mas é certamente falso que diferenciabilidade
implique em Lipschitz local em uma vizinhança de um ponto de máximo.
Não em um ponto de máximo.
Eu disse que se a função
é diferenciável em [a,b] ela é contínua em [a,b] então ela alcança um
valor máximo e um
valor mínimo no intervalo [a,b]. Pelos cálculos apresentados é sempre
possível achar a constante
de Lipschitz k em termos desses dois valores:
Seja max{f} o maximo da função no intervalo I.
Então: |f(x) - f(a)|< max{f}
Deve existir k real tal que
max{f} < k |x-a| para todo x em I.
Para ver isso seja x_inf o menor
valor de x no intervalo I e x_sup o maior valor.
Então para qualquer x e qualquer a no intervalo I temos
|x-a| < x_sup - x_inf. (comprimento de I)
Se fizermos k = max{f}/(x_sup - x_inf) então :
|f(x) - f(a)| < max{f} = max{f}/(x_sup - x_inf) * (x_sup - x_inf)
<= max{f}/(x_sup - x_inf) * |x-a| <= k * |x-a|
Bem, agora não sei onde os argumentos acima estão errados ...
:)
[]s
Ronaldo.
Considere f(x) = x^2 ( -2 + cos(g(x^(-2)))), f(0) = 0, onde g é suave
de crescimento rápido. O ponto x = 0 é máximo global estrito mas f não
é Lipschitz em nenhum intervalo com 0 no fecho.
[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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