Oi Nicolau
Conforme mostra seu exemplo, diferenciabilidade em I nao implica que f seja
localmente Lipschitz em I. Mas, de fato, implica a existência de algum
subintevalo I' de I na qual f seja Lipschitz. Para ver isto, a prova que me
ocorreu baseia-se nos seguintes fatos conhecidos da Analise:
(1) - Se f eh derivavel em I, entao f eh Lipschitz em I se, e somente se, a
sua derivada f' for limitada em I. Se M = supremo {|f'(x)| | x em I} entao M e
anmenor constante de Lipschitz de f em I.
(2) - A derivada f' eh o limite de uma sequencia (g_n) de funcoes continuas em
I.
(3) Se (g_n) eh uma sequencia de funcoes continuas definidas em um espaco de
Baire B (logo em um espaco metrico completo), tem valores em R (ou mesmo nos
complexos) e converge ponto a ponto (nao precisa ser uniformemente) para uma
funcao g, entao existe um subconjunto A, aberto em B, no qual a sequencia
(g_n) eh uniformemente limitada por algum M>0. Isto implica imediatamente que g
seja limitada em A por M.
Particularizando para o noso caso, temos que o intervalo I de R eh um espaco de
Baire e que f' eh o limite de uma sequencia de funcoes (g_n), continuas em I e
com valores em R. Segundo (3), segue-se que I contem um intervalo aberto I' no
qual f' eh limitada por algum M>0. E agora, recorrendo-se a (1) concluimos que
|f(u) - f(v)| <= M |u - v| para todos u e v de I', ficando assim provada a
proposicao.
Alguns acham que eh uma prova tenebrosa e ateh estupida, mas acho que estah
certo.
Abracos
Artur
----- Original Message ----
From: Nicolau C. Saldanha <[EMAIL PROTECTED]>
To: [email protected]
Sent: Wednesday, November 1, 2006 3:46:57 PM
Subject: Re: [obm-l]FunçãoLipschitz em um subintervalo
On Wed, Nov 01, 2006 at 07:33:36AM -0800, Artur Costa Steiner wrote:
> A demonstração do fato citado a seguir é, a primeira vista, muito simples (e
> talvez seja mesmo):
>
> Suponhamos que f:I->R seja diferenciavel em um intervalo aberto I de R.
> Existe, então, um subintervalo de I no qual f eh Lipschitz.
Eu não tenho certeza se este fato é verdadeiro mas se for acho
que a demonstração não deve ser tão simples assim.
Tome f(x) = x^2 cos(g(x^(-2))) para x diferente de 0 e f(0) = 0
onde g: R -> R é uma função suave de crescimento rápido.
Fora de x = 0, f é claramente suave. Em x = 0, f é derivável.
Mas é fácil ver que a derivada de f perto de 0 assume valores
arbitrariamente grandes. Assim, f não é Lipschitz em nenhum
subintervalo cujo fecho inclua 0.
Este exemplo não refuta o fato mas mostra que diferenciabilidade
nem sempre implica localmente Lipschitz.
A classe das funções diferenciáveis não é, aliás, das mais bem comportadas.
Por isso as pessoas preferem estudar C^1 (derivada contínua)
ou H^1 (Sobolev, derivada em L^2), que são espaços de Banach e Hilbert,
respectivamente, com normas bastante naturais. Nestes dois espaços
o problema análogo é fácil.
[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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