Artur Costa Steiner wrote:
Foi-me pedido que provasse uma afirmacao, mas eu, possivelmente por falta de
conhecimento, estou perdido, talvez alguem possa ao menos dar uma orientacao:
Provar que o dual do espaço das sequências em F que convergem para zero é
isometricamente isomorfo ao espaço das sequencias absolutamente convergentes em
F' (o espaco dual de F).
Talvez isometria e isomorfismo sejam coisas distintas neste caso.
Isometria preserva
distâncias e isomorfismo preserva estruturas (no caso o problema deve
estar se referindo
a estrutura de espaço vetorial). Mas não sei se uma coisa implica na outra.
Uma das formas de provar isso talvez seja construir explicitamente
esse isomorfismo a partir de S={ {s_i}, tal que s_i ->0 quando i-> oo} e
depois encontrar como as distâncias são preservadas.
Aqui, F eh um espaco vetorial. O dual de um espaco vetorial Feh o espaco
vetorial formado pelas funcoes lineares de F sobre os reais, nao eh isso?
A definição é:
O espaço dual de um espaço vetorial V é o espaço formado pelas
transformações de V
em R se o corpo for o corpo dos reais. Esse espaço é chamado de V*.
Os elementos desse espaço são chamados de funcionais lineares
e mapeiam vetores em escalares (acho que é isso). Se for o corpo dos
complexos
então as os funcionais mapeiam elementos de V em complexos. Os
elementos de
V são vetores covariantes e os de V* são chamados de vetores contravariantes
ou 1-formas.
Concretamente se interpretarmos **R^n como espaço de colunas de n
números reais
seu espaço dual é o espaço de vetores linha contendo n números reais.
Essas linhas
agem em vetores de R^n como funcionais lineares com a operação de
multiplicação de
matrizes.
Ronaldo.
Isometricamente isomorfo é um pleonasmo, nao eh? isomorfo jah pressupoe
isomorfismo. Mas o enunciado estava assim.
Artur
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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