Basta de fato supor que f eh continua em um unico elemento a de (0, inf).
Pois, entao, lim (x -> a) f(x) - f(a) = lim(x -> a) f(x/a) = lim (t ->1)
f(t) = 0 = f(1), do que concluimos que f eh continua em t =1.  Para todo y
de (0, inf) temos entao, para todo x tambem em (0, inf) que f(x) - f(y) =
f(x/y). Logo, lim (x -> y) f(x) - f(y) = lim (x -> y) f(x/y) = lim(t-> 1)
f(t) = f(1) = 0, do que concluimos que f eh continua em todo y de (0, inf). 

Artur  

-----Mensagem original-----
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de claudio.buffara
Enviada em: terça-feira, 7 de novembro de 2006 11:40
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Re:[obm-l] RES: [obm-l] Função Logarítmica?


---------- Cabeçalho original -----------

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Fri, 3 Nov 2006 10:37:27 -0300
Assunto: [obm-l] RES: [obm-l] Função Logarítmica?

>  > Certa vez me disseram (ou eu li) que a única função real que f(xy) =
f(x)
> + f(y) é a função log. Isso está correto? Realmente não tive idéias para
> resolver essa
> 
>  
> Se vc admtir que f nao eh identicamente nula e eh derivavel em pelo menos
um
> elemento de R, ai sim f eh a funcao eh a logaritmica
>  
>  
E se supusermos apenas que f:(0,+inf) -> R e continua e tal que f(b) = 1,
para algum b > 0?

Nesse caso, temos (sem supor continuidade):
f(x) = f(1x) = f(1) + f(x) ==> f(1) = 0.
0 = f(1) = f(x*1/x) = f(x) + f(1/x) ==> f(1/x) = -f(x)
f(x^n) = nf(x) (por inducao; n em N) ==> (deducoes faceis) f(x^r) = rf(x) (r
em Q)

A = {b^r | r em Q} e denso em (0,+inf) 
Dem:
Dado o intervalo (p,q) contido em (0,+inf), tome:
b > 1 ==> r entre log_b(p) e log_b(q) ou simplesmente r < log_b(q) se p = 0;
b < 1 ==> r entre log_b(q) e log_b(p) ou simplesmente r > log_b(q) se p = 0.
Em qualquer caso, teremos p < b^r < q.

Seja a funcao logaritmo na base b ==> log_b: (0,+inf) -> R.
Para todo r em Q, f(b^r) = rf(b) = r = log_b(b^r) ==> f e log_b coincidem em
A.
Como f eh continua e A e denso em (0,+inf), f = log_b em (0,+inf).

[]s,
Claudio.




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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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