---------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Fri, 3 Nov 2006 17:35:53 +0000 (GMT) Assunto: [obm-l] Limite interessantissimo (2a edição)
> Caros colegas da lista, > > Resolvi estrear minha participação aqui propondo o seguinte > desafio: uma nova solução para o seguinte problema postado > em agosto pelo colega George, mas dessa vez usando > geometria simples. Aliás o legal desse problema foi > justamente que a solução analítica me incentivou a buscar a > solução geométrica. > > "Imaginem uma circunferência C1 com equação (x- 1)²+y²=1 e > outra circunferência C2, a ser encolhida, com raio r e > centro na origem. P é o ponto (0,r) , Q é o ponto de > intersecção superior das circunferências e R é o ponto de > intersecção da reta PQ com o eixo x. > > O que acontecerá com R quando C2 encolher, isto é, quando > r--->0+?" > > [], > Marcelo Cruz > (Filho pródigo das Olimpíadas de Matemática) > Ponha O = (0,0) e A = (2,0). Uma solucao puramente geometrica consiste em se provar que o triangulo QAR e isosceles. Isso pode ser feito atraves do exame dos angulos do triangulo isosceles POQ (POQ = 2t e OPQ = OQP = 90-t), dos triangulos retangulos OQA (inscrito num semi-circulo - OQA = 90, AOQ = 90-2t ==> OAQ = 2t), e POR (POR = 90, OPR = OPQ = 90-t ==> ORP = ARQ = t). OAQ e angulo externo ao triangulo QAR ==> OAQ = AQR + ARQ ==> 2t = AQR + t ==> AQR = t ==> QAR e isosceles ==> QA = AR = OR - OA = OR - 2 ==> OR = QA + 2. Quando r -> 0+ ==> Q -> O ==> QA -> QO = 2 ==> OR -> 4. []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================