> Q (o conjunto dos números racionais) é magro, tem interior vazio e medida zero, > como qualquer subconjunto enumerável de R, e é mais ou menos trivial o fato > de Q ser denso em R. > > Densidade não tem nada a ver, absolutamente nada, nada mesmo, nem com o > conceito de magro, nem com o conceito de conjunto de medida zero! > E nem com enumerabilidade: K, o conjunto de Cantor tradicional, e nao enumeravel a, apesar disso, nao e denso em nenhum subconjunto aberto de R (ou seja, se A e qualquer aberto em R, entao A contem um intervalo aberto que nao intersecta K). Basta ver que, como K e fechado e A e aberto, A-K e aberto e, portanto, contem um intervalo aberto. Por outro lado, Q e enumeravel mas denso em R. Ambos sao magros (ou seja, sao cobertos por uma colecao no maximo enumeravel de fechados com interior vazio: K e coberto por ele mesmo e Q = Uniao(r em Q) {r}).
E interessante que existem (pelo menos) tres definicoes de subconjunto "INSIGNIFICANTE" de R: - enumeravel; - de medida zero; - magro. Enumeravel implica em medida zero e magro. K eh nao-enumeravel mas tem medida zero e eh magro. O conjunto dos numeros de Liouville tem medida zero mas seu complementar (o conjunto dos numeros diofantinos) eh magro. Ambos sao nao-enumeraveis. Para definicoes e demonstracoes, veja: http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville_number Existe tambem o conceito de subconjunto de conteudo nulo: aquele que pode ser coberto por uma quantidade finita de intervalos abertos cuja soma dos comprimentos pode ser tomada arbitrariamente pequena. Naturalmente, conteudo nulo implica medida zero, mas a reciproca nao e verdadeira. Exemplo: Q inter I, onde I e qualquer intervalo nao degenerado. > Já que você citou o teorema de Baire, sugiro olhar o capítulo 3 do livro > ¨Aplicações da Topologia à Análise" de Hönig, C. S. (Projeto Euclides), lá > existe muito material sobre este assunto. > Infelizmente estah esgotado, mas o "Espacos Metricos" do Elon tambem tem muita coisa interessante... []s, Claudio. > Manuel Garcia > > > > >Ou seja, aquele exemplo classico de funcao que e descontinua nos racionais > > e continua nos irracionais (f(x) = 1/q, se x = >p/q (com p inteiro, q > > natural e p, q primos-entre si) e f(x) = 0, se x e irracional) nao e > > derivada de funcao alguma, pois > sua imagem esta contida em [0,1] mas so > > contem 0 e racionais da forma 1/q. > > > > Exato. > > > > >Baseado no exemplo do Nicolau, eu pensei na sequencia de funcoes (f_n) > > dada > > por: > > >f_n(x) = sen^2(nx)*cos(g(1/sen^2(nx))), se x <> k*pi/n e f_n(x) = 0, caso > > contrario. > > >So que eu tenho a impressao de que esta sequencia nao converge (ja que > > (h_n) dada por h_n(x) = sen^2(nx) nao converge - se > > >convergisse para h, quem seria h(1)? - para x <> multiplo racional de pi, > > o > > conjunto de valores de aderencia da sequencia > (h_n(x)) e o intervalo > > [0,1]). > > > > > Enfim, como o Artur disse, a ideia da demonstracao deve vir de alguma > > outra area da matematica... > > > > Aparentementa nao converge mesmo nao. Mas o Nicolau deu ateh uma prova > > para > > um caso menos restrito em que admitiu apenas a existencia das derivadas de > > Dini. Aquela prova que eu dei, na qual consegui relacionar fatos de varia > > areas da matematica, alguns nao gostam porque a julgam anti-natural, pois > > envolve conceitos nao muito conhecidos por quem nao estuda um pouquinho > > mais. > > > > Artur > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================