---------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [email protected] Cópia: Data: Fri, 10 Nov 2006 09:18:13 -0200 Assunto: Re: [obm-l] Injecao continua de R^2 em R
> claudio.buffara wrote: > > R^2 contem uma infinidade nao-enumeravel de segmentos de reta fechados e > > nao-degenerados. > > Por exemplo, para cada a em R, os segmentos ligando os pontos (a,0) e (a,1) > > sao disjuntos e em quantidade nao-enumeravel. > > Assim, as imagens por f de quaisquer dois destes segmentos serao intervalos > > compactos disjuntos e nao-degenerados. > > No entanto, R contem no maximo uma quantidade enumeravel de tais intervalos > > (tome um racional em cada um deles). > > Essa contradicao prova que nao pode haver uma funcao injetiva continua de > > R^2 em R. > > > > > Gostei da prova porque é bastante intuitiva. Você deve conhecer as > curvas de > Peano. Elas foram uma tentativa de achar > uma função contínua e bijetiva de R em R^2 (você provou neste exemplo > que não existe > uma injetiva de um intervalo de R em R^2). > Não existe obviamente uma função bijetiva de um intervalo de R em um > retângulo de R^2 > porque o infiinito de R^2 é maior que o de R (um tem cardinalidade c^2 e > outro tem cardinalidade > c, respectivamente). Isso nao e verdade. c^2 = c, ou seja, existe uma bijecao entre (0,1) e (0,1)x(0,1). De fato, existe uma funcao injetiva de (0,1)x(0,1) em (0,1). Todo x em (0,1) tem uma representacao decimal 0,a1a2a3.... Se a partir de um dado n, todos os a_n sao 9, escolha a representacao finita equivalente (ou seja, a inves de x = 0,16999999... use x = 0,170000...). Defina f( 0,a1a2a3a4... , 0,b1b2b3b4...) = 0,a1b1a2b2a3b3... . E facil ver que f e injetiva. Desafio (nao muito dificil...): Prove que f nao e sobrejetiva. Obviamente a funcao g: (0,1) -> (0,1)x(0,1) dada por g(x) = (x,1/2) e injetiva. Logo, por Schroder-Bernstein, existe uma bijecao entre (0,1) e (0,1)x(0,1). O que eu provei e que nao existe uma bijecao CONTINUA entre estes dois conjuntos. A curva de Peano e um exeplo de sobrejecao continua de [0,1] em [0,1]x[0,1]. []s, Claudio. Vi uma prova uma vez desse fato no livro de > topologia do Lipschutz . > Dá uma olhada neste link computacional que usa uma função recursiva para > desenhar esse tipo de > curva. > > http://www.math.umass.edu/~mconnors/fractal/generate/peano.html > > > O argumento acima e facilmente generalizavel para o caso geral proposto > > pelo Artur. > > > > *** > > > > Aproveito a ocasiao pra propor uma nova questao: > > Sejam [a,b] e [c,d] intervalos nao-degenerados de R e f:[a,b]->[c,d] e uma > > bijecao continua. > > Temos que ter necessariamente f(a) = c ou d (e f(b) = d ou c)? > > > Comecei imaginando por exemplo uma bijeção de [0,1] em [0,1]. O que > vale para essa > bijeção entre esses dois intervalos deve valer para outros. Podemos > identificar cada > elemento de [0,1] com uma sequencia infinita: > > 0.c_1 c_2 c_3 c_4 ... <==> s = {c_1,c_2,c_3,...} > > onde os c_i são números de 0 a 9. > > Podemos facilmente concluir assim que trocando elementos da sequencia > (ex: c_1 por c_4, etc) > podemos obter uma bijeção, mas ela não será contínua. Para ser > contínua, pontos vizinhos > tem que ser levado em pontos vizinhos, então só poderemos trocar pontos > finais da sequência. > > Caso contrário, não poderemos sempre encontrar sempre qualquer > eps> 0 tal que se |x-x_1| < delta então | f(x) - f(x_1)| < eps. > > Cada permutação de elementos da sequência gera uma outra sequência. > Assim formando > um conjunto de permutações com os n primeiro elementos da sequência > original obtemos > n! funções (não necessáriamente contínuas). De fato podemos notar que a > única função contínua > é a identidade porque não temos ainda a permutação que inverte todos > os elementos porque nosso > n ainda é finito. > Agora supomos que n vá para o infiinito. Teremos n! funções e duas > que são contínuas > a identidade e a que inverte todos os elementos. Bom... não sei se isso > convence mas acho > que a resposta a pergunta do Cláudio é SIM. > > []s > Ronaldo. > > > > []s, > > Claudio. > > > > > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > ========================================================================= > > > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
