Hm, vamos lá. 1) Seja x = a - 3 + 1/2. Então (a-1)(a-3)(a-4)(a-6) + 10 = (x+5/2)(x-1/2)(x+1/2)(x+5/2) + 10 = (x^2 - 25/4)(x^2 - 1/4) + 10 = x^4 - (13/2)x^2 + 185/16 = (x^2 - 13/4)^2 + 1 > 0. 1.1) O valor mínimo é 1, pois (x^2 - 13/4)^2 >= 0, com igualdade para x = +-raiz(13)/2.
(só agora eu li que a primeira já foi feita, mas deixo a solução aí de qualquer jeito). 2) Uma maneira de expressar somas de potências de números é considerar uma equação polinomial que tem esses números como raízes. No nosso caso, considere a equação (x - a)(x - b)(x - c) = 0 <=> x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+ac+bc)x - abc = 0. Como a + b + c = 0, temos na verdade x^3 = -(ab+ac+bc)x + abc. Para facilitar, sejam s = -(ab+ac+bc) e p = abc, de modo que x^3 = sx + p. Multiplicando por x^n, obtemos x^(n+3) = sx^(n+1) + px^n. Como a, b, c são raízes dessa equação, a^(n+3) = sa^(n+1) + pa^n b^(n+3) = sb^(n+1) + pb^n c^(n+3) = sc^(n+1) + pc^n Somando, obtemos (a^(n+3)+b^(n+3)+c(n+3)) = s(a^(n+1)+b^(n+1)+c^(n+1)) + p(a^n+b^n+c^n) Sendo S(k) = a^k + b^k + c^k, temos S(n+3) = sS(n+1) + pS(n). Como S(0) = a^0 + b^0 + c^0 = 3, S(1) = a + b + c = 0 e S(-1) = 1/a + 1/b + 1/c = (ab+ac+bc)/abc = -s/p, S(2) = sS(0) + pS(-1) = 3s + p(-s/p) = 2s S(3) = sS(1) + pS(0) = 3p S(4) = sS(2) + pS(1) = 2s^2 S(5) = sS(3) + pS(2) = s3p + p2s = 5ps e o resultado segue: S(5)/5 = (S(2)/2)(S(3)/3). Essa idéia também resolve um problema de uma OBM de alguns anos atrás: se a + b + c = 0, quanto vale (a^5+b^5+c^5)^2/[(a^4+b^4+c^4)(a^3+b^3+c^3)^2]? []'s Shine --- Ramon Carvalho escreveu: > > > 1) Provar que (a-1)(a-3)(a-4)(a-6) + 10 é sempre > > positivo para a E R > > 1.1) Achar o menor valor dessa função > > > > 2 ) Se a+b+c = 0, Provar que (a^5 + b^5 +c^5)/5 = > > (a^3 + b^3 + c^3)/3 . > > (a^2 + b^2 + c^2)/2 > > > > Estou com problemas nessas questões, qualquer ajuda > > seria bem vinda > > > > > > Desde já, grato ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
