Suponhamos que f:I -> J seja uma bijecao monotonicamente crescente (se for decrescente, o racicinio eh analogo). Admitamos que em algum a de I f seja descontinua. Sendo f monotonivcamente crescente, a descontinuidade eh do tipo salto. Se o salto for em a+, entao f(a) < lim (x ->a+) f(x) = s+, e o carater crescente de f implica que a mesma nao assuma valores em (f(a), s+). Logo, f(I) nao eh um intervalo, contrariamente aa hipotese de que f(I) = J. Se o salto for em a-, entao f nao assume valores em (s-, f(a), tambem contrariando a hipotese de que f(I) = J. Logo, f nao pode apresentar descontinuidades e a resposta para a primeira questao eh sim. Esta certo, nao eh? Para a segunda questao, sabemos da teoria de medidas que, se f eh monotona em algum intervalo I, entao o conjunto D, composto pelos elementos de I nos quais f nao eh derivavel, tem medida de Lebesgue nula. Logo, D eh subconjunto proprio de I, visto que I tem por medida o seu comprimento, que eh positivo. A resposta, portanto, eh nao, nao existe tal f. Mas nao sei dizer se D pode ser denso em I. Artur
-----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de claudio.buffara Enviada em: quinta-feira, 16 de novembro de 2006 14:43 Para: obm-l Assunto: [obm-l] Bijeção Monótona = Contínua ? Mais um probleminha na nossa investigação das funções contínuas: Sejam I e J intervalos na reta de mesmo tipo (homeomorfos). Se f: I -> J é uma bijeção monótona, podemos concluir que f é contínua? Existe uma tal f que não seja derivável em ponto algum de I? []s, Claudio.
