Caro MP
Observe que (y^3-x^3)/(y-x)=y^2+xy+x^2 <=3y^2<=z^2+yz+y^2=(z^3-y^3)/(z-y),
sendo a primeira desigualdade para 0<=x<y e a segunda, para y<z. Daí segue
y^3 <= x^3 + 3y^2(y-x), para 0<=x<=y e y^3 <= z^3 + 3y^2(y-z), para
0<=y<=z . Ou seja, vale a desiguladade
y^3 <= x^3 + 3y^2(y-x) (*)
Para o valor y=(a+b+c)/3 fixo em (*), tome os valores x = a, x = b, x = c
sucessivamente e some membro a membro as desiguladades obtidas que você obterá
3y^3<= a^3+b^3+c^3 e segue [(a+b+c)/3]^3<=(a^3+b^3+c^3)/3 e a desiguladade
desejada. Acho que a mesma idéia serve para provar a desigualdade generelizada
[(a_1+ ...+a_n)/n] <= [((a_1)^n+ ... + (a_n)^n)/n]^(1/n)
Para informação, essas desigualdades são casos particulares de uma desigualdade
da teoria da probabilidade, chamada desigualdade de Jensen, que diz que se f é
uma função convexa e X uma variável aleatória tal que as esperanças E(X) e
E(f(X)) exsitem, então vale
f(E(X))<=E(f(X)).
Com essa desigualdade, prova-se os casos particulares mensionados e muitas
outras desigualdades, como por exemplo
(a_1.a_2. ... .a_n)^(1/n) <= (a_1+ ... + a_n)/n^,
asando-se a função convexa f(x)=e^x.
Obs.: E(X) indica a esperança matemática da variável aleatória X.
Ary
MP <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
Saudações,
outro dia uma aluna me pediu que eu demonstrasse a seguinte desigualdade:
(a+b+c)/3 =< CBRT[(a^3+b^3+c^3)/3],
CBRT -> raiz cubica
para a, b e c reais positivos
eu já havia resolvido uma parecida:
(a+b+c)/3 =< SQRT[(a^2+b^2+c^2)/3]
mas usava o fato de que a soma dos quadrados das distâncias de cada
número até a média é não negativa:
A=(a+b+c)/3 e B=SQRT[(a^2+b^2+c^2)/3]
(a-A)^2 + (b-A)^2 + (c-A)^2 >=0
a^2 + b^2 + c^2 -2A(a+b+c) + 3A^2 >=0
a^2 + b^2 + c^2 = 3B^2
(a+b+c) =3A
3B^2 -6A^2 + 3A^2 >=0
B^2 >= A^2
A =< B.
Alguem pode me ajudar na demonstração da média cúbica?
[]'s MP
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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