Oi, Niski: O objetivo eh achar x > 0 pequeno o suficiente para que: (p+x)^2 < 2 <==> p^2 + 2px + x^2 < 2. Se p < 1, basta tomar x = 1-p. Se p >= 1, entao x tem que ser necessariamente < 1. Nesse caso, x^2 < x e, portanto, eh suficiente que tenhamos: p^2 + 2px + x < 2 <==> x < (2 - p^2)/(2p + 1). Como p >= 1, p+2 <= 2p+1 e, portanto, x < (2 - p^2)/(p + 2). Assim, tomando x < min{1, (p^2-p)/(p+2)}, teremos: (p+x)^2 < (p + (2-p^2)/(p+2))^2 = 2(p+1)/(p+2) < 2. Alias, nao sei se essa ideia eh original do Rudin pois jah vi este tipo de argumento em varios outros livros, inclusive num do Elon.
[]s, Claudio. ---------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 6 Dec 2006 19:19:50 -0200 Assunto: [obm-l] o chapeu de Rudin. > O Rudin, no começo do livro "Principles of Mathematical Analysis" (3rd > edition) > define A como sendo o conjunto dos racionais positivos p tais que p^2 < 2. > Depois ele diz que para cada p em A, ele consegue achar um racional q > tal que p < q. > Para isso ele diz que pode associar, para cada racional p > 0 o numero > > q = p - ((p^2 - 2)/(p + 2)) = (2p + 2)/(p+2) > > Isso me pareceu meio que tirado do chapeu. Uma explicacao mixuruca > seria: "q foi tomado dessa forma pois é o que funciona". > > Alguem tem alguma idéia de como o Rudin pode ter pensado pra apresentar esse > q ? > > Um abraço a todos. > > Niski > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================