Acabei de lembrar da enciclopédia de sequências de inteiros, aliás um site extremamente interessante, especialmente pra quem gosta de problemas do tipo "qual o próximo termo da sequência...".
A página relevante é: http://www.research.att.com/~njas/sequences/A003432 e lá você encontra diversos links com mais informações sobre o problema. Num desses links eu vi um resultado que dá um problema bonitinho: Dada uma matriz complexa A, nxn e com entradas de módulo <= 1, prove que |det(A)| <= raiz(n^n) e exiba uma matriz A para a qual vale a igualdade. Dica e problema correlato: Calcule o produto dos comprimentos de todos os lados e todas as diagonais de um n-gono regular convexo inscrito no círculo unitário (o produto tem n(n-1)/2 termos). []s, Claudio. De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data:Wed, 6 Dec 2006 18:27:52 -0200 Assunto:Re: [obm-l] Determinante de 0s e 1s > Olá, > > vamos propor o seguinte lema: det(A) <= n!, onde n é a dimensao da matriz > quadrada. > > para n=1, temos: det(A) <= 1, ok! > para n=2, temos: det(A) = ab - cd <= ab <= 1 <= 2! > > vamos supor que vale para k, e vamos mostrar que vale para k+1. > Seja A uma matriz quadrada de dimensao k+1, entao, aplicando o teorema de > laplace em uma fila qualquer, ficamos com: > det(A) = Somatório(i=1 até k+1, a_i * det(B_i)), onde a_i sao os elementos > da fila, e det(B_i) os determinantes, conforme o teorema. > mas, por hipotese, det(B_i) <= k! (pois B_i tem dimensao k), logo: det(A) <= > Somatório(i=1 até k+1, k!*a_i) <= Somatório(i=1 até k+1, k!) = (k+1) * k! = > (k+1)! (cqd) > > portanto, esta provado que qualquer matriz quadrada de dimensao nxn com > entradas pertencentes a {0, 1} tem determinante <= n! > > tem como melhorar essa desigualdade? > inicialmente eu pensei <= 1, mas nao saiu a demonstracao e me induziu a > tentar <= n, mas tb nao saiu e me induziu a mostrar <= n!, e saiu! > > abraços, > Salhab > > > ----- Original Message ----- > From: "claudio.buffara" > To: "obm-l" > Sent: Wednesday, December 06, 2006 9:55 AM > Subject: [obm-l] Determinante de 0s e 1s > > > Vi esse aqui num site sobre curiosidades numericas: > > Qual o valor maximo do determinante de uma matriz 10x10 cujas entradas > pertencem a {0,1}? > Generalize para uma matriz nxn. > > []s, > Claudio. >
