opa,
acho que consegui agora! rsrs
tentei fazer prum caso particular (numero com 6 digitos) e saiu a demonstracao
pra um caso geral..
primeiramente, vamos fazer o seguinte:
10 = 3 (mod 7)
10^k = 3^k (mod 7)
agora:
se k = 6n, temos: 3^6 = 1 (mod 7), assim: 3^(6n) = 1 (mod 7)
se k = 1 + 6n, temos: 3^(1 + 6n) = 3*3^(6n) = 3 (mod 7)
se k = 2 + 6n, temos: 3^2 * 3^(6n) = 3^2 = 9 = 2 (mod 7)
se k = 3 + 6n, temos: 3^3 * 3^(6n) = 3^3 = 27 = 6 (mod 7)
se k = 4 + 6n, temos: 3^4 * 3^(6n) = 3^4 = 3*27 = 3*6 = 4 (mod 7)
se k = 5 + 6n, temos: 3^5 = 3 * 4 = 5 (mod 7)
mas, um numero qquer pode ser escrito como: Sum_{k=0}^{n} a_i * 10^i
basta dividirmos este somatorio em i = 6n, i = 1 + 6n, i = 2 + 6n, ..., i = 5 +
6n, e utilizarmos mod 7..
vamos cair exatamente no que foi exposto.
deste modo, esta provado o seguinte:
1) justificativa do metodo
2) a unicidade, a menos de multiplos
3) se multiplos puderem ser utilizados, basta tomarmos caras iguais (mod 7)
entre 0 e 9, por exemplo:
1 = 8 (mod 7)
2 = 9 (mod 7)
os demais nao tem..
logo, os numeros que poderiam ser utilizados sao: 546231, 546931, 546238,
546938, e nenhum outro!
4) verificamos facilmente que todos acima sao divisiveis por 7.. entao: sim,
todos tem q ser divisiveis por 7 (nao há contra-exemplo).
abraços,
Salhab
----- Original Message -----
From: Palmerim Soares
To: [email protected]
Sent: Thursday, December 21, 2006 11:47 PM
Subject: [obm-l] DESAFIO:divisibilidade por 7
Desculpem, havia um pequeno erro no texto, mas foi corrigido.
A seguir um resultado interessante, mas certamente desconhecido da maioria
(se nao de todos!) desta lista, e um desafio, especialmente para os grandes
mestres:
Um bom metodo para saber se um numero grande eh divisivel (ou nao) por 7
consiste no seguinte:
Dado um numero grande, por exemplo 6065534139, escrever abaixo deste numero,
porem da esquerda para a direita, o numero-chave 546231 de teste de
divisibilidade por 7, da seguinte maneira:
numero-dado à 6 0 6 5 5 3 4 1 3 9
numero-chave à 6 2 3 1 5 4 6 2 3 1 ßescrito
da esquerda para direita
Observe que o numero-chave (que tambem eh divisivel por 7) foi escrito da
esquerda para a direita, comecando pelo ultimo algarismo, ou seja, pelo 1.
Agora escreve-se abaixo deles o produto dos dois algarismos de cada coluna:
Produtos à 36 0 18 5 25 12 24 2 9 9
Adiciona-se agora esses produtos, que neste caso resulta 140. Se esta soma
for divisivel por 7, entao o numero dado eh divisivel por 7. Caso ainda haja
duvida se a soma eh divisivel ou nao por 7, repete-se o processo:
1 4 0
2 3 1
2 12 0
A soma (2 + 12 + 0) vale 14. E se ainda restar duvida, aplica-se mais uma vez:
1 4
3 1
3 4
A soma (4+3) vale 7, e, portanto, o numero original eh divisivel por 7.
Se quiserem podem testar o metodo com o seguinte numero, que eh divisivel por
7:
6986648088495576619729344372307579911
O desafio consiste em:
1) Justificar o metodo;
2) Demonstrar que o numero-chave 546231 eh (ou nao) unico, e, caso nao seja
unico:
3) Fornecer outro numero-chave e
4) Mostrar que o numero-chave tem que ser (ou nao) divisivel por 7.
Boa sorte!
Palmerim
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