Bondade do Paulo, a demonstração dele eh muito instrutiva! Abracos a todos Artur
----- Original Message ---- From: Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]> To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, January 18, 2007 12:45:53 PM Subject: Re: [obm-l] Mostrar que a função é contínua. Ola Carry bit e demais colegas desta lista ... OBM-L, O nosso carissimo colega Artur ja apresentou uma demonstracao mais bela e elegante, nomeadamente usando o fato de que se a imagem inversa de todo aberto e aberto entao a funcao e continua. Mas nunca e demais ver outras formas de se chegar ao mesmo resultado. Eis aqui uma outra maneira - um tanto truculenta, é verdade ! - usando as definicoes tradicionais : Admita a hipotese - f^(-1)( int(Y) ) C int( f^(-1)(Y) ) - e suponhamos que f:M -> N nao e continua em "a" pertencente a M . Isto significa que : " Existe um E > 0 tal que para todo D > 0 existe um x do domino de M de f e pertencente ao intervalo aberto (a-D,a+D) tal que f(x) nao pertence a (f(a)-E,f(a)+E) " Fazendo Y=(f(a)-E,f(a)+E) e claro que "a" pertence a f^(-1)(int(Y)). Mas eu afirmo que "a" nao pertence a int(f^(-1)(Y)) ... De fato, se "a" pertencesse a int(f^(-1)(Y)) entao haveria um intervalo aberto (b,c) contendo "a" tal que (b,c) estaria contido em f^(-1)(Y). Ora, tomando D=min{a-b,c-a} temos que (a-D,a+D) esta contido em (b,c) e sabemos que existe ai algum x do domino M de f tal que f(x) nao esta em Y, pois f e descontinua em "a". Assim : "a" pertence a f^(-1)(int(Y)) mas "a" nao pertence a int(f^(-1)(Y)) => f^(-1)(int(Y)) nao esta contido em int(f^(-1)(Y)) ... ABSURDO ! Logo, admitindo a hipotese nao pode haver ponto onde a funcao seja descontinua, ou seja, a funcao e continua. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 5,2034,180107 EM TEMPO : acima admiti, sem mencionar explicitamente, que "a" e ponto de acumulacao de M, pois imaginei que todos sabem que toda funcao e continua num ponto isolado Em 17/01/07, carry bit<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > segundo um exercício: mostre que se a imagem inversa por f, do interior de > Y está contida no interior da imagem inversa por f de Y então a função é > contínua. Em notação temos > f^(-1)( int(Y) ) C int( f^(-1)(Y) ), onde f: M -> N com Y C N. > > Observo que a recíproca é verdadeira. > > Obrigado! > carry_bit ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ____________________________________________________________________________________ It's here! Your new message! Get new email alerts with the free Yahoo! Toolbar. http://tools.search.yahoo.com/toolbar/features/mail/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================