Oi, gente,
Em 22/dez Palmerim postou um método curioso para divisibilidade por
7 e dois dias depois, Salhab o justificou.
Agora que surgiu tempo ai vai o resultado de minha navegada pela
internet (onde se encontra, naturalmente o problema proposto pelo
Palmerim em http://www.pims.math.ca/pi/current/page30-30.pdf e um
critério geral para divisibilidade por um primo arbitrário (procurei
na nossa lista e não encontrei a discussão que se segue; desculpem-me
se já rolou tal discussão e eu não percebi). Há vários sites
interessantes mas o mais objetivo que encontrei e simples para a
garotada é http://www.egge.net/~savory/maths1.htm.
É importante lembrar que há vários métodos para divisibilidade por 7,
um método para divisibilidade por 7, 11 e 13, que usa o fato de 7 x
11 x 13 = 1001, um método do Gustavo Gerald Toja Frachia (Instituto
de Matemática da USP) citado na Wikipedia e também no link
http://www.cut-the-knot.org (um de meus sites preferidos).
Ai vai um resumo para facilitar a vida dos mais jovens, em português
:-) de http://www.egge.net/~savory/maths1.htm.
Seja N um inteiro, r seu último dígito e M o número formado pelos
algarismos anteriores (por exemplo, se N = 3249, então r = 9 e M = 324).
a) Exemplo preliminar: divibilidade 17
N é divisível por 17 se e somente (sss) M - 5r também é divisível por 17.
Exemplos: a | b significa a divide b
17 | 2343 sss 17 | ( 234 - 5x3) sss 17 | 219 sss 17 | 21 - 5x9
sss 17 | -24; logo, 2343 não é divisível por 17, pois 17 não divide -24;
17 | 15912 sss 17 | (1591 - 5x2) ss 17 | 1581 sss 17 | (158 -
5x1) sss 17 | 153 sss 17| (15 - 5x3) sss 17 | 0; logo, 17 | 15912
É interessante observar que este método possui uma quantidade de
passos proporcional ao número de algarismos de N.
b) Caso geral
Se p é primo, seja q o menor múltiplo positivo de p terminado em 1 ou
9 (observe que no caso p = 17 tem-se q = 51).
O critério geral é:
i) Se o último dígito de q = 1: p | N sss p | M - ar , onde a é o
número que sobra de q quando tiramos o 1 (no caso de 17, o 5);
ii) Se o último dígito de q = 9: p | N sss p | M + (a+1) r , onde
a é o número que sobra de q quando tiramos o 9;
Veja a tabela abaixo, onde indicamos nesta ordem, o primo p, o valor
de q, o valor de a e a propriedade...
p q a p | N sss p divide...
7 21 1 M - 2r
11 11 1 M - r
13 39 3 M + (3+1)r = M + 4r
17 51 5 M - 5r
23 69 6 M + (6+1)r = M + 7r
29 29 2 M + (2+1)r = M + 3r
31 31 3 M - 3r
37 111 11 M - 11r
41 41 4 M - 4r
43 129 12 M + 13r
47 141 14 M - 14r
...
A demonstração geral é simples mas é interesante para a turma mais
jovem fazer a demonstração de um dos casos particulares (p = 13 ou
17, etc). Finalizando, exibo um outro critério de divisibilidade por
7 para números maiores que 1000 que utiliza menos passos que o
critério anterior:..
Seja N > 1000 e escrevamos N como (R.S) onde S é o número formado
pelos 3 últimos dígitos de N e R o numero formado pelos anteriores a
eles (por exemplo, se N = 3245123 então R = 3245 e S = 123. O
critério é trivial e a demonstração, simples: 7 | N sss 7 | R - S
Seria interessante investigar a generalização deste critério para
outros primos....
Abraços,
Nehab
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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