Pensando bem, a formalizacao eh uma adaptacao simples da solucao abaixo. Dado a em [-1,1], tome b em [-pi/2,pi/2] tal que sen(b) = a. Tome a subsequencia (x_n_k) onde n_k eh o maior indice tal que: x_n_k <= 2*pi*k + b < x_(n_k + 1). Entao sen(x_n_k) converge para sen(b) = a.
[]s, Claudio. ---------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [email protected] Cópia: Data: Fri, 2 Feb 2007 14:21:44 -0200 Assunto: RES: [obm-l] sequencias > De fato a sequencia eh densa [-1,1]. Justamente porque ln(n) -> oo e l(n+1) > - ln(n) -> 0. > Uma forma de ver isso dem formalizar: à media em que n vai aumentando, vamos > percorrendo o círculo, sendo que a diferença entre pontos consecutivos é > cada vez menor. Assim , se x está em [-1,1], entao qulquer intevalo aberto > contendo x eh visitado infinitas vezes por elentos de sin(ln(n)). Eh claro > que isso noa eh prova, soh a ideia > Artur > > -----Mensagem original----- > De: claudio.buffara [mailto:[EMAIL PROTECTED] > Enviada em: sexta-feira, 2 de fevereiro de 2007 10:30 > Para: obm-l > Assunto: Re: [obm-l] sequencias > > > Soh pra complementar: > sen(log(n+1)) - sen(log(n)) -> 0 pois log(n+1) - log(n) = log(1+1/n) -> 0 e > a funcao seno eh uma contracao fraca (isso quer > dizer que |sen(x) - sen(y)| <= |x - y|, quaisquer que sejam x e y em R. > Pra ver isso, faca: > |sen(x) - sen(y)| = 2*|sen((x-y)/2)|*|cos((x+y)/2)| <= 2*|sen((x-y)/2)| <= > 2*|(x-y)/2| = |x-y|. > > O problema do argumento do Salhab eh que nem sempre eh verdade que x_n > divergente implica sen(x_n) divergente. > Por exemplo, se a_n -> a entao x_n = a_n + 2*pi*n -> infinito, mas sen(x_n) > -> sen(a). > > O mais provavel eh que o conjunto de valores de aderencia de sen(log(n)) > seja o intervalo [-1,1]. Isso eh verdade para sen(n) e, > se nao me engano, esse resultado jah foi bem discutido aqui na lista (bons > tempos aqueles...). > > No caso presente, basta mostrar que sen(log(n)) tem mais de um valor de > aderencia. > Vamos considerar um caso um pouco mais geral: seja (x_n) uma sequencia > crescente, ilimitada e tal que (x_(n+1) - x_n) -> 0 > (esse eh justamente o caso de log(n)). Como x_n eh crescente e ilimitada, > podemos tomar indices n_1, n_2, .... tais que: > n_k = maior indice tal que x_n_k <= k*pi + pi/2 ==> > x_n_k <= k*pi + pi/2 < x_(n_k + 1) (**) > Mas (x_(n+1) - x_n) -> 0. Em virtude de (**) e do teorema do sanduiche, isso > quer dizer que: > lim(k -> +inf) (k*pi + pi/2 - x_n_k) = 0. > Logo, como seno eh continua: > (i) a subsequencia x_n_(2m-1) serah tal que sen(x_n_(2m-1)) -> sen((2m-1)*pi > + pi/2) = -1; > e > (ii) a subsequencia x_n_2m serah tal que sen(x_n_2m) -> sen(2m*pi + pi/2) = > 1. > > Acho que eh isso. > > []s, > Claudio. > > > > ---------- Cabeçalho original ----------- > > De: [EMAIL PROTECTED] > Para: [email protected] > Cópia: > Data: Fri, 2 Feb 2007 04:17:47 -0200 > Assunto: Re: [obm-l] sequencias > > > Olá Artur, > > > > sabemos que sen(x) diverge qdo x->inf... e que, se g(x) -> inf qdo x->inf, > > > entao: lim (x->inf) f(g(x)) = lim (x->inf) f(x) ... > > deste modo, sen(ln(n)) diverge, pois ln(n)->inf qdo n->inf e sen(x) > diverge > > qdo x->inf.. > > > > bom, qquer erro, por favor, me corrija! > > > > abraços, > > Salhab > > > > ----- Original Message ----- > > From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]> > > To: <[email protected]> > > Sent: Thursday, February 01, 2007 3:11 PM > > Subject: RES: [obm-l] sequencias > > > > > > Outro contra exemplo talvez seja sen(ln(n)), mas embora pareca intuitivo > que > > esta sequencia divirja, ainda nao a consegui uma prova matematicamente > > valida > > Artur > > > > -----Mensagem original----- > > De: Artur Costa Steiner > > Enviada em: quinta-feira, 1 de fevereiro de 2007 13:56 > > Para: [email protected] > > Assunto: RES: [obm-l] sequencias > > > > > > No caso (i), a seq. não tem que ser convergente. Um contra-exemplo é a > seq. > > cujos termos são 0, 1, 1/2, 0, 1/3, 2/3, 1, 3/4, 2/4, 1/4, 0, 1/5, ... > > > > A lei de formação é um vai vem em [0,1] em que vc vai dividindo o > intervalo > > em subintervalos com comprimentos dados pelos inversos dos inteiros > > positivos. Vamos direto de 0 a 1, depois voltamos a 0 passando pelo 1/2, > > depois vamos de novo para 1 passando agora por 1/3 e 2/3, aí voltamos para > 0 > > por 3/4/, 2/4, 1/4 e assim sucessivamente. Esta seq. satisfaz aa condicoes > > dadas mas não converge. > > > > Artur > > > > > > > > -----Mensagem original----- > > De: carlos martins martins [mailto:[EMAIL PROTECTED] > > Enviada em: terça-feira, 30 de janeiro de 2007 22:34 > > Para: [email protected] > > Assunto: [obm-l] sequencias > > > > > > sou novo na lista e estou com um problema, na verdade dois, com > sequências, > > > > i) Seja (x_n) uma sequência tq se n tende a oo |x_(n+1) - x_(n)|=0 e que > > (x_n) é limitada. > > Mostre ou dê contra-exemplo que (x_n) é convergente. > > > > ii) Se (a_n) é uma sequência de números reais definida por > > a_1 = 1 e a_(n+1)=a_n * (2 - a_(n)/2 ). > > Mostre que 1 <= a_n <= 2. > > > > Na primeira não tive muito progresso. > > > > Na segunda consegui mostrar por indução que 1 <= a_n . Que a_n <= 2, não > > consegui, cheguei > > a_n <= 3. > > > > _________________________________________________________________ > > Insta-le já o Windows Live Messenger. A nova geração do messenger. > > http://get.live.com/messenger/overview > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > ========================================================================= > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > ========================================================================= > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > ========================================================================= > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > ========================================================================= > > > > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
