Oi Claudio,
Espero que este email nao seja considerado muito off-topic pelos
colegas, pois que é mais sobre Educação em Matemática (que é minha
praia mais amada) do que sobre problemas em Matemática (que hoje é
apenas um passatempo delicioso para mim - mas um passatempo - me
encanto aprendendo com vocês).
Muito úteis as informações complementares inclusive a piadinha da
"pressão... (e cá para nós, em matéria de ego o Fermat e o
Napoleao... uhmmm não sei quem era mais doente, não)...
Mas a principal razão de eu ter comentado que uso a tal propriedade
dos complexos para matar problemas em geometria vem de uma
preocupação anterior que não explicitei (só pensei) no email anterior :-)
Hoje eu percebo nos alunos uma imensa dificuldade em "enxergar"
geometria (uma quantidade enorme de alunos tem uma dificuldade
inacreditável até para desenhar um cubo em perspectiva). Talvez a
razão se origine lá atrás, quando disciplinas como Desenho
Geométrico, Geometria Descritiva e Perspectiva faziam parte do
currículo normal e deixaram de sê-lo. A cegueira geométrica
aumentou consideravelmente de lá para cá.
Assim rotações, translações, homotetias, simetrias, inversões e um
pouco de homologia eram técnicas usadas para "matar" geometricamente
inúmeros problemas e desenvolver nossa capacidade de
"ver" geometricamente. Hoje, embora haja inúmeros textos bem
escritos sobre todos estes assuntos, a maioria não possui o desejado
viés puramente geométrico.
Naturalmente, como você comentou, há a informação abundante
disponível na Internet (aliás sou frequentador assíduo dos sites que
você mencionou: são MUITO bons ( www.cut-the-knot.org
e www.nrich.maths.org ) mas o trabalho escolar sobre os temas
praticamente desapareceu.
Hoje, não há cursos de construções geométricas na escola
formal. Depois neguinho estranha a atrofia reinante no lado direito
do cérebro da galera - o que não se usa atrofia, né - e os neurônios
não usados vão pro beleléu :-).
É isto: tão faltando por ai uma boa dúzia de clones do prof Wagner
(um craque) ...
Abraços,
Nehab
At 11:16 14/2/2007, you wrote:
---------- Cabeçalho original -----------
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: [email protected]
Cópia:
Data: Tue, 13 Feb 2007 20:24:07 -0200
Assunto: Re: [obm-l] Problemas em aberto
> Oi, Claudio,
>
> O problema de complexos que você mencionou é uma ferramenta
> extremamente útil que já usei para demonstrar inúmeros problemas de
> geometria, como por exemplo o famoso teorema atribuido ao
> Napoleão (o Bonaparte, mesmo, acredite se quiser... :-)), que eu
> acho surpreendente:
>
Tem um artigo legal na Eureka sobre aplicaoes de complexos em
geometria. Estah aqui:
http://www.obm.org.br/eureka/artigos/aplicacoes.pdf
E aqui estah outro: http://www.majorando.com/arquivos/geomcomplexasemolimp.pdf
> "Sobre os lados de um triângulo arbitrário construa três triângulos
> equiláteros exteriores ao mesmo. Mostre que os centros destes 3
> triângulos equiláteros determinam um novo triângulo equilátero".
>
Ha controversias sobre a autoria desse teorema. Parece que Napoleao
realmente gostava de matematica, e que pode ateh ter
descoberto (ou re-descoberto) este teorema empiricamente, mas eh
menos provavel que tenha descoberto uma demonstracao
original. No entanto, sabe-se que Napoleao era amigo de Fourier,
Laplace, Monge e outros craques. Pode ser que, numa dada
noite, eles tenham se encontrado pra tomar umas e outras. Dai, podem
ter comecado a falar de matematica, o problema
apareceu e foi resolvido (pelo Monge, por exemplo, que nao era muito
ruim de geometria). No dia seguinte, ninguem se lembrava
bem quem fez o que e o Napoleao, que certamente tinha um ego
inversamente proporcional a sua estatura, decidiu se apoderar
do credito...
> O teorema do Napoleão também é relacionado a outro problema
> (atribuído a Pascal) igualmente interessante: "Dado um triângulo
> qualquer, determine o ponto de seu plano cuja soma das distâncias aos
> vértices é mínima".
>
Eu li que este problema foi proposto por Fermat a Evangelista
Torricelli. Alias, eh muito natural confundir o Torricelli com o
Pascal, especialmente quando se estah sob pressao (jah pedindo
desculpas pela piadinha infame...).
O tal ponto eh normalmente chamado "ponto de Fermat" do triangulo.
Se um dos angulos do triangulo for >= 120 graus, entao o ponto eh o
vertice correspondente.
Algumas demonstracoes esao aqui:
http://www.cut-the-knot.org/Generalization/fermat_point.shtml
Esse problema tem uma interpretacao fisica interessante, em termos
de equilibrio estatico.
Veja aqui:
http://www.nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=495&part=solution&refpage=viewer.php
A relacao entre os teoremas de Napoleao e Pascal-Fermat-Torricelli
eh descrita aqui:
http://www.math.washington.edu/~king/coursedir/m444a03/notes/12-05-Napoleon-Fermat.html
Que maravilha essa internet, hem?... Imagina o trabalho que alguem
teria pra achar estas referencias ha 20 anos atras...
[]s,
Claudio.
> Os aficcionados em Geometria que se regozigem... São bonitos, assim,
> como as soluções.
>
> Quanto ao somatório (com expoentes sendo os números triangulares) tô
> pensando...
>
> Abraços,
> Nehab
>
> At 13:50 13/2/2007, you wrote:
>
>
> >On 2/13/07, claudio.buffara
> ><<mailto:[EMAIL PROTECTED]>[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> >Antes de postar um problema bonitinho sobre complexos, quero lembrar
> >que ainda temos (pelo menos) dois problemas em aberto
> >na lista, um do PSRita e o outro do ACSteiner:
> >
> >1. Calcule o valor de SOMA(n=1...+inf) q^(n(n-1)/2), onde |q| < 1.
> >
> >Consultei meus alfarrabios e descobri que esta soma eh igual a um
> >certo produto infinito, mas nao achei nenhuma formula
> >fechada e suspeito que nenhuma exista, a menos que envolva alguma
> >funcao nao elementar - alias, como a serie acima
> >converge, ela pode ser usada pra definir uma funcao de (-1,1) -> R.
> >
> >
> > Se o termo n(n-1)/2 fosse n(n+1)/2 ele seria a soma de uma
> > P.A. com os n primeiros naturais.
> > Não parei ainda para pensar com calma, mas será que esse problema
> > não está relacionado com partições de inteiros e
> >a função de Euler?
> >
> ><http://en.wikipedia.org/wiki/Integer_partition>http://en.wikiped
ia.org/wiki/Integer_partition
> >
> > Note que o termo de x^n que é p(n) conta o número de vezes em que
> > é possível escrever n = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + ... onde cada a_i
> >aparece i vezes.
> > Bem, alguém já deve ter pensado nisso, então o que eu falei não
> > ajuda muito ... :)
> >
> >[]s
> >Ronaldo
> >
> >
> >
>
>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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