De:[EMAIL PROTECTED]
Para:obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:Mon, 12 Feb 2007 22:21:10 +0000 (GMT)
Assunto:[obm-l] Analise Combinatoria
> Estou com muita dificuldade em resolver esta questao, e gostaria muito de
> ajuda.
>
> 1) Depois de ter dado um curso, um professor resolve se despedir de seus 7
> alunos oferecendo, durante 7 dias consecutivos, 7 jantares para cada 3
> alunos. De quantos modos ele pode fazer os convites se ele nao deseja que um
> mesmo par de alunos compareça a mais de um jantar? Resp:151.200
>
> Obrigado por enquanto.....
Chame os alunos de 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.
Cada aluno deve jantar exatamente uma vez com cada um dos 6 colegas e deve ser
acompanhado por exatamente 2 colegas em cada jantar. Logo, participa de 6/2 = 3
jantares.
Tomemos o aluno 1.
Num dos jantares ele necessariamente encontrará o aluno 2.
O terceiro aluno deste jantar pode ser escolhido de 5 maneiras distintas.
Digamos que o aluno 3 seja escolhido.
Assim, um dos jantares será {1,2,3}.
Num segundo jantar, 1 necessariamente encontrará 4.
O terceiro participante deste jantar pode ser escolhido de 3 maneiras distintas
(dentre 5, 6 e 7).
Digamos que seja o aluno 5.
Assim, o segundo jantar de 1 será {1,4,5}
O terceiro jantar de 1 será necessariamente {1,6,7}.
Vejamos agora o segundo jantar do aluno 2 (o primeiro foi {1,2,3}).
Ele necessariamente encontrará o aluno 4. Digamos que seja nesse jantar.
O terceiro participante desse jantar pode ser escolhido de 2 maneiras distintas
(só pode ser 6 ou 7).
Digamos que seja 6.
Isso implica que o segundo jantar de 2 será {2,4,6}.
O terceiro jantar de 2 será necessariamente {2,5,7}.
Repare que, a essa altura, o aluno 4 já participou dos jantares {1,4,5} e
{2,4,6}.
Logo, o terceiro jantar de 4 será necessariamente {3,4,7}.
Mas, nesse caso, como 3 já participou de {1,2,3} e {3,4,7}, o seu terceiro
jantar só pode ser {3,5,6}.
Em suma, temos os 7 jantares:
{1,2,3}, {1,4,5}, {1,6,7}, {2,4,6}, {2,5,7}, (3,4,7} e {3,5,6}.
A fim de determiná-los, tivemos que escolher:
i) dentre 5 alternativas para o primeiro jantar de 1;
ii) dada a primeira escolha, dentre 3 alternativas para o segundo jantar de 1, e
iii) dadas as duas escolhas anteriores, dentre 2 alternativas para o segundo
jantar de 2.
Total = 5*3*2 = 30 alternativas.
(ou seja, existem 30 conjuntos distintos de 7 jantares cada nas condições do
enunciado)
Finalmente, como os jantares podem acontecer em qualquer ordem durante os 7
dias, o número total de maneiras do professor dar os 7 jantares é igual a 30*7!
= 30*5040 = 151200.
[]s,
Claudio.
