Boa tarde Ricardo, Nao sou a pessoa certa pra dizer se essa estrategia esta totalmente certa, mas é verdade que ela é bem interessante. Vou pegar algumas equacoes de 4 grau que eu conheco as raizes e comecar a brincar com elas usando a estrategia que voce ensinou. Obrigado.
PS: A duvida continua... li o conceito do lema de gauss. Definitivamente ele nao é um algoritmo de fatoracao. Porque ele ele foi usado entao como justificativa para a fatoracao do polinomio x^4-10x^2+x+20=0 para p(x)=(x^2-x-4)(x^2+x-5) ??? On 2/16/07, Ricardo J.F. <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Oi Rafael e demais colegas da lista, Eu também já vi um execício no qual tinha uma equação do quarto e o cara conseguiu Transformá-la em um produto de dois polinomios de segundo grau,afirmando que utilizou O chamado teorema de Gauss sem ao menos enunciá-lo . Fiquei intrigado com isso pois Achei interessante a fatoração.Não sei que teorema de Gauss é esse,mas observando a fatoração elaborei as seguintes estratégias não sei se estão totalmente certas gostaria da opnião dos colegas,com essas estratégias conseguimos resolver questões interessantes,veja: P(x)=x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 P(x)=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d) (i) b.d = a_0 (ii)a+c=a_3 (iii)ac=a_2-(d+b) delta = (-a_3)^2 - 4.1.[a_2-(d+b)] = 4(d+b) + a_3^2 - 4a_2 De (i) achamos todos os inteiros b e d tais que b.d=a_0 Para auxiliar observe os exemplos: ............................. Exemplo1:IME-04/05-questão4 x^4-2x^3-11x^2+18x+18=0 {b,d}={1,18}{-1,-18}{2,9}{-2,-9}{3,6}{-3,-6} delta = 4(d+b)+48 = 4(d+b+12) vamos pegar aqueles que tornam delta quadrado perfeito {d,b}={-2,-9} temos o sistema: a+c=-2 =>{a,c}={0,-2} ac=0 P(x)=(x^2+b)(x^2-2x+d) =>-2b=18 =>b=-9 logo d=-2 E temos a fatoração: P(x)=(x^2-9)(x^2-2x-2) .......................... Exemplo2: IME-04/05-questão4 x^4-12x^3-44x^2-32x-52=0 {b,d}={1,-52}{-1,52}{2,-26}{-2,26}{4,-13}{-4,13} delta=4(d+b+80) => não dá pra fazer,pois não existe b e d tais que 4(d+b+80)seja quadrado perfeito ................................ Exemplo3:IME-05/06-questão2 P(x)=x^4-6x^3+15x^2-18x+10 {b,d}={1,10}{-1,-10}{2,5}{-2,-5} delta=4[(d+b)-6] pra ser q.perf=> {b,d}={2,5} a+c=-6 =>{a,c}={-4,-2} ac=8 p(x)=(x^2-4x+b)(x^2-2x+d) => -4d-2b=-18 => 2d+b=9 => d=2, b=5 p(x)=(x^2-4x+5)(x^2-2x+2) .......... Exemplo4:IME-01/02-questão9 sqrt(5-sqrt(5-x)) = x elevando ao quadrado temos a seguinte equação do quarto grau: x^4-10x^2+x+20=0 {b,d}={1,20}{-1,-20}{2,10}{-2,-10}{4,5}{-4,-5} cuidado quando a_3=0! a+c=a_3=0 ac=a_2-(b+d) temos: a^2-Soma.a+Produto=0 => a^2=-P ac=a_2-(b+d) deve ser negativo e -P=-ac deve ser quad.perfeito ac = -10-(b+d) logo {b,d}={-5,-4} e temos o sistema a+c=0=>{a,c}={-1,1} ac=-1 p(x)=(x^2-x+b)(x^2+x+d) =>-d+b=1 =>d=-5 , b=-4 p(x)=(x^2-x-4)(x^2+x-5) Abraços,Ricardo J.F. ----- Original Message ----- From: "Rafael" <[EMAIL PROTECTED]> To: <obm-l@mat.puc-rio.br> Sent: Thursday, February 15, 2007 9:55 PM Subject: Re: [obm-l] lema de gauss > Na verdade eu queria mesmo saber como que o lema de gauss ajuda na > fatoracao de um polinomio, pois nesse exercicio se voce resolver do > jeito tradicional (quadrando a equacao) voce chega numa equacao de 4 > grau que "pelo lema de gauss" vira uma fatoracao de dois polinomios de > grau2. Como assim ??? > > Mas ja que comecaram a resolver o exercicio... Carlos, ja vi alguem > falar sobre provar a convergencia daquela serie, mas nao estou > familiarizado (ainda nao) com a manipulacao algebrica de convergencia > e divergencia. Acho que sei o que que significa, se ela vai parar em > algum valor ou se ela nao chega a valor algum, mas nunca fiz um > exercicio que tivesse que provar a convergencia de uma serie. > > Salhab, porque voce tomou 5-x = x^2 ??? provavelmente ha uma parte do > exercicio que voce enxergou e eu ainda nao. poderia me dizer qual é? > > P.S.: A solucao que eu tinha visto ate entao era essa que usa o tal de > de lema de gauss, e outra que chama sqrt(5-x) de y e comeca a > desenvolver o sistema. > > > Obrigado > > On 2/15/07, Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> wrote: >> Olá, >> >> observe que, se 5-x = x^2, temos: >> >> sqrt(5-sqrt(5-x)) = sqrt(5-x) = x >> >> resolvendo, obtemos: x^2 + x - 5 = 0 ... x = [-1 +- sqrt(21)]/2 >> >> queremos o resultado positivo, entao: x = [sqrt(21) - 1] / 2 >> >> espero ter ajudado, >> abraços, >> Salhab >> >> >> ----- Original Message ----- >> From: "Rafael" <[EMAIL PROTECTED]> >> To: <obm-l@mat.puc-rio.br> >> Sent: Thursday, February 15, 2007 5:27 PM >> Subject: [obm-l] lema de gauss >> >> >> Ha um tempo atras apareceu na lista um problema do ime mais ou menos >> assim: >> >> sqrt(5-sqrt(5-x)) = x >> >> Um dos participantes da lista sugeriu o lema de gauss para resolver a >> questao. >> >> O que seria exatamente esse lema de gauss e mais importante ainda: >> Como ele pode me ajudar a resolver essa questao ( ja que pelo pouco >> que entendi ele nao é um algoritmo para fatorar polinomios) ??? >> >> Obrigado >> -------------------------------------------------- >> Rafael >> >> ========================================================================= >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> ========================================================================= >> >> ========================================================================= >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> ========================================================================= >> > > > -- > -------------------------------------------------- > Rafael > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
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