Vou aproveitar a soma trigonométrica e pedir novamente uma ajuda com o produto trigonométrico sen(kPI/n), k indo de 1 até n-1. Sei que o resultado dá n/2^(n-1) mas não encontrei nenhuma maneira de demonstrar. Qualquer ajuda eu agradeço.
Abraços. Douglas Em 28/02/07, Rogério Possi Júnior<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
Boa Shine! Sds, Rogério >From: Carlos Yuzo Shine <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [email protected] >To: [email protected] >Subject: [obm-l] Re: [obm-l] USAMO - Soma trigonométrica. >Date: Wed, 28 Feb 2007 16:44:13 -0800 (PST) > >Ah, esse é um grande clássico! > >Estamos somando termos da forma 1/(cos k.cos(k+1)), com medidas em graus. > >Antes de continuar, vale a pena mostrar um exemplo de soma telescópica >parecida, mas mais simples, que é a soma > 1/(1.2) + 1/(2.3) + ... + 1/(88.89) >de termos do tipo 1/(k.(k+1)). A idéia é escrever essa fração como soma de >frações parciais, ou seja, encontrar constantes A e B tais que > 1/(k.(k+1)) = A/k + B/(k+1) > >Abrindo tudo e fazendo identidade de polinômios, encontramos A = 1 e B = >-1, de modo que a soma é igual a > (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + ... + (1/88 - 1/89) = 1 - 1/89 = 88/89 > >Tendo essa idéia em vista, vamos encontrar uma função f(n) de Z em R tal >que > 1/(cos k.cos(k+1)) = f(k)/cos k - f(k+1)/cos(k+1) > >Tirando o mínimo e eliminando denominadores, encontramos > 1 = f(k)cos(k+1) - f(k+1)cos k > >Parece alguma fórmula familiar? Compare com > sen(a - b) = sen a cos b - sen b cos a >(forçando um pouco mais a barra: faça a = k+1 e b = k) > >Então parece valer a pena tomar f(n) = C.sen n. Fazendo umas contas não é >difícil ver que C = -1/sen 1. Assim > 1/(cos k.cos(k+1)) = 1/sen1(sen k/cos k - sen(k+1)/cos(k+1)) >e a soma pedida é > 1/(cos0.cos1) + 1/(cos1.cos2) + ... + 1/(cos88.cos89) > = -1/sen1((sen0/cos0 - sen1/cos1) + (sen1/cos1 - sen2/cos2) + ... + >(sen88/cos88 - sen89/cos89)) > = -1/sen1(sen0/cos0 - sen89/cos89) > = -1/sen1(0 - cos1/sen1) > = cos1/sen^2(1). > >[]'s >Shine > > >----- Original Message ---- >From: Rogério Possi Júnior <[EMAIL PROTECTED]> >To: [email protected] >Sent: Wednesday, February 28, 2007 8:11:51 PM >Subject: [obm-l] USAMO - Soma trigonométrica. > > >Caros, > >Alguém consegue resolver essa usando soma telescópica? > >(USAMO-1992) Mostre que 1/(cos 0.cos 1) + 1/(cos 1.cos2) + ... + >1/(cos88.cos89) = cos(1)/sen^2(1). > >Rogério > >_________________________________________________________________ >MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. >http://messenger.msn.com.br > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >========================================================================= > > > >____________________________________________________________________________________ >Sucker-punch spam with award-winning protection. >Try the free Yahoo! Mail Beta. >http://advision.webevents.yahoo.com/mailbeta/features_spam.html > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >========================================================================= _________________________________________________________________ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
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