Ha cerca de 1 mes este assunto foi discutido aqui, mas so vi as mensagens hoje.
Um dos colegas queria saber se pode existir uma sigma- algebra infinita e
enumeravel. Acho que a discussao nao foi fechada.
A resposta eh NAO. Para ver isto, suponhamos que em um conjunto infinito X
tenhamos definido uma sigma-algebra infinita M. Vamos gerar uma sequencia de
elementos de M da seguinte forma:
Comecemos fazndo B_0 = X. Entao, B_0 tem uma infinidade de subconjuntos
mensuraveis (isto eh, pertencentes a M). Decorrencia da hipotese de que M eh
infinita.
De forma indutiva, suponhamos construidos conjuntos nao vazios, mensuraveis e
disjuntos 2 a 2,
A_0,....A_(n-1), B_n
tais que B_n tenha uma infinidade de subconjuntos mensuraveis. Existe, entao,
um conjunto nao vazio e mensuravel A_n, contido em B_n, tal que
B_(n +1) = B_n - A_n tem uma infinidade de subconjuntos mensuraveis.
Continuando com este processo de particionar B_n em 2 subconjuntos nao vazios e
mensuraveis A_n and B_(n+1), obtemos uma sequencia infinita
A_0, A_1....A_n..... de conjuntos nao vazios, mensuraveis e disjuntos 2 a 2.
A existencia de tal sequencia eh o ponto chave de nossa demonstracao.
Seja agora S um subconjunto qualquer dos inteiros positivos. Para cada S, seja
C_S a uniao de todos os conjuntos A_n tais que n pertenca a S. Pelas
propriedades das sigmas-algebras, segue-se que cada C_S esta em M, sendo assim
mensuravel. Como os conjuntos A_n sao nao vazios e sao disjuntos 2 a 2,
segue-se tambem que, se S <> S', entao C_S <> C_S'. Ou seja, existe uma
bijecao entre a colecao {C_S} e a colecao {S}, esta ultima composta por todos
os subconjuntos dos inteiros positivos. Conforme sabemos, {S} nao eh
enumeravel, o que implica que {C_S} tambem nao o seja. Como {C_S} eh uma
subcolecao de M, concluimos que M nao eh enumeravel.
Como conclusao, temos que nao existem sigmas-algebras infinitas e enumeraveis.
Toda sigma-algebra infinita eh nao enumeravel.
Eh imediato que sigmas-algebras construidas sobre conjuntos finitos sao finitas
e contem, no maximo, 2^(no. de elementos do conjunto) elementos, pois a maior
sigma algebra que podemos definir em um conjunto eh o conjunto de suas partes.
Artur
