1/1*3+1/3*5+1/5*7+...1/(2n-1)*(2n+1)=n/(2n+1) Vamos provar por indução: BASE: Se n=1 1/1*3=1/3=1/(2*1+1) ok! PASSO: Supondo que vale pra n: 1/1*3+1/3*5+1/5*7+...1/(2n-1)*(2n+1)=n/(2n+1) * , vamos mostrar que vale pra n+1: somando 1/[2(n+1)-1]*[2(n+1)+1]=1/(2n+1)(2n+3) em ambos os lados de *temos:
1/1*3+1/3*5+1/5*7+...1/(2n-1)*(2n+1)+1/(2n+1)(2n+3)=n/(2n+1)+1/(2n+1)(2n+3)=[n*(2n+3)+1]/(2n+1)*(2n+3) =(2n^2+3n+1)/(2n+1)*(2n+3)=(2n+1)(n+1)/(2n+1)*(2n+3)=(n+1)/(2n+3)=(n+1)/[2(n+1)+1] C.q.d. -- "Sempre haverá um Amaraticando!"
