Olá,

f(1) = 1
f(2) = f(1) + f(1) = 2
f(3) = f(2) + f(1) = 2 + 1 = 3
f(4) = f(3) + f(2) = 3 + 2 = 5
f(5) = f(4) + f(2) = 5 + 2 = 7
f(6) = f(5) + f(3) = 7 + 3 = 10
f(7) = f(6) + f(3) = 10 + 3 = 13
f(8) = f(7) + f(4) = 13 + 5 = 18

vamos ver isso tudo mod7, ok?
f(1) = 1 (mod7)
f(2) = 2 (mod7)
f(3) = 3 (mod7)
f(4) = 5 (mod7)
f(5) = 0 (mod7)
f(6) = 3 (mod7)
f(7) = 6 (mod7)
f(8) = 4 (mod7)
f(9) = 4 + 5 = 2 (mod7)
f(10) = 2 + 0 = 2 (mod7)
f(11) = 2 + 0 = 2 (mod7)
f(12) = 2 + 3 = 5 (mod7)
f(13) = 5 + 3 = 1 (mod7)
f(14) = 1 + 6 = 0 (mod7)
f(15) = 0 + 6 = 6 (mod7)
f(16) = 6 + 4 = 3 (mod7)

hmm... 
estou buscando algum jeito de provar isso! hehe :)

hmm...
se n=2k, entao: f(2k) = f(2k-1) + f(k)
se n=2k+1, entao: f(2k+1) = f(2k) + f(k)
assim, somando, temos: 2f(k) = f(2k+1) - f(2k-1)
talvez subtraindo, entao: f(2k) - f(2k+1) = f(2k-1) - f(2k) ........ 2*f(2k) = 
f(2k-1) + f(2k+1)

hmm se f(k) = 0(mod7), entao: 2f(k) = 0(mod7), e: f(2k+1) - f(2k-1) = 0(mod 7), 
logo: f(2k+1) = f(2k-1)(mod 7)
mas, tambem temos: f(2k+1) = f(2k)(mod 7), assim: f(2k+1) = f(2k) = 
f(2k-1)(mod7)

assim, se f(k) = 0(mod7), temos que: f(2k+1) = f(2k) = f(2k-1) (mod7)

de fato, podemos notar isso dos valores calculados acima..!

rpz.. eu to tentando mostrar que se f(k) = 0(mod 7), entao vai existir um 
proximo [em funcao de k], que tambem sera!
deste modo, eh infinito!
mas ainda nao deu! hehe
talvez nem tenha como fazer do modo como estou pensando!

bom... quem sabe alguem tira algum proveito do q eu fiz!

dps eu tento denovo,
abracos,
Salhab






  ----- Original Message ----- 
  From: Klaus Ferraz 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Saturday, March 31, 2007 10:31 PM
  Subject: [obm-l] Função


  Seja f:N->N definida por f(1)=1 e f(n)=f(n-1)+f(parte inteira de n/2)
  Mostre que existem infinitos naturais K tais que f(K) é múltiplo de 7. 

  Eu achei pra k=5 e k=14. f(5)=7 e f(14)=70. Acho q eh ateh óbvio de se 
imaginar que existem infinitos k. Só não consigo formalizar.

  Vlw.

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