Pessoal,
Gostaria de saber se alguém conhece alguma referência para estudar/consultar
"Matrix Calculus".
No livro
Scharf, Louis L. - Statistical Signal Processing: Detction, Estimation, and
Time Series Analysis. Reading, Massachusetts: ADDISON-WESLEY PUBLISHING
COMPANY, 1991.
nas páginas 274-276, ele faz APENAS a seguinte convenção (ou melhor ele define
desta forma):
_________
DEFINICÃO: Seja g uma função escalar de uma matriz, ou seja, g:R{p \times q} ->
R (g mapeia uma matriz p por q na reta.). Define-se
dg/dA como sendo a matriz p por q
[dg/daij] com i=1, ..., p; j = 1,... q e A = [aij].
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Daí ele enumera uma série de resultados SEM DEMONSTRAÇÃO ou referência para
demonstrações. Muitos deles são imediados, outros nem tanto.
Alguns dos resultados que o livro acima coloca:
OBSERVAÇÃO: tr{} é o Traço de uma matrix.; det é o determinante da matriz; exp
é a exponencial (no caso exponencial de uma matrix)
1) d tr{R^n}/dR = n(R^{n-1})^{T};
2) d det(R)/dR = detR (R^{-1})^{T};
3) d tr(exp(R))/dR = exp(R);
Além de trabalhar com matrizes ele faz a seguinte convenção (ou melhor dá a
seguinte definição) no cálculo vetorial.
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Seja f:Rn->Rm, (x1,...xn) |---> f(x1,...,xn)=(f1(x1,...xn),...,fm(x1,...,xn)).
Define-se:
df/dx como a matrix m por n
[df_{j}/dx_{i}] com i = 1,... n e j=1,...m.
Novamente ele enumera uma série de resultados SEM DEMONSTRAÇÃO ou referência
para demonstrações. Muitos deles são imediados, outros nem tanto.
Exemplos de resultados enumerados:
1) d ln(x^{T}Qx)/dx = 2(x^{T}Qx)^{-1}Qx, com Q uma matriz constante.
2) d exp{-1/2x^{T}Q^{-1}x}/dx = -exp(-1/2x^{T}Q^{-1}x)Q{-1}x, Q uma matriz
constante.
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Alguém conhece referências que demonstrem (especialmente de maneira elegante
usando resultados de matrizes, ou seja, sem ter que "abrir" as funções acima)
os resultados acima?
Já dei uma olhada no google mas não achei muito. Em relação a segunda convenção
deste e-mail: ela parece ser a transposta da definição que vi no meu curso de
cálculo...
Algumas referências que achei.
http://www.colorado.edu/engineering/CAS/courses.d/IFEM.d/IFEM.AppD.d/IFEM.AppD.pdf
http://www4.ncsu.edu/~pfackler/MatCalc.pdf
Brewer, J. - Kronecker products and matrix calculus in system theory. Circuits
and Systems, IEEE Transactions on, vol. 25, N. 9, pp.772-771, 1978.
Mas ainda não consegui uma referência que contenha todas as demonstrações dos
resultados do livro do Scharf citado acima (prefiro as que são rigorosas
matemáticamente).
Quem souber alguma boa referência para o assunto por favor me avise.
Obrigado.
