Ola,

primeiramente, vamos supor que a_n e b_n convergem.. entao:

lim a_(n+1) = lim a_n = m1
lim b_(n+1) = lim b_n = m2

m1 = (m1 + m2)/2 ... 2m1 = m1 + m2 ... m1 = m2
ou
m2^2 = m1*m2  .... m1 = m2

agora temos que mostrar que estas sequencias convergem :)
pela desigualdade das medias, temos: a_(n+1) <= b_(n+1) .... opa! basta 
provarmos que b_n converge...

b_(n+1) = (a_n*b_n)^1/2 <= b_n ... opa! b_n é descrescente!
mas b_n tbem é limitado, pois só possui termos positivos!
logo, b_n converge e, consequentemente, a_n converge!

abracos,
Salhab



  ----- Original Message ----- 
  From: Klaus Ferraz 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, April 03, 2007 6:17 PM
  Subject: [obm-l] Sequencia


  Sejam a_0 e b_0 dados com 0<a_0<b_0. Sejam
  a_(n+1) = (a_n + b_n)/2 e b_(n+1) = (a_n*b_n)^1/2
  Mostre que que existe m (chamado média aritmético-geometrica de a_0 e b_0) 
  tal que a_n-->m <--b_n. 

  Vlw.

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