Bom dia Andre
Vou ajudar no exercicio 2. Os outros 2 tem em quase todos os livrois de analise.
(2) - Seja P o conjunto dos polinomios com coeficientes inteiros. Para cada
inteiro n >=0 (incluindo os polinomios constantes, de grau 0), seja P_n o
conjunto dos polinomios de coeficientes inteiros do grau n. A cada elemento de
P_n corresponde um e somente corresponde um vetor de Z^(n+1) (z1,
z2....z_(n+1)), no qual z1 <>0 e cujas componentes sao os coeficientes do
polinomio a partir do coeficiente lider. Por outro lado, a cada elemento de
Z^(n+1) com a primeira componente nao nula corresponde um e somente um elemento
de P_n, Hah, assim, uma bijecao entre P_n e um subconjunto do enumeravel
Z^(n+1), do que concluimos que P_n eh enumeravel.
Temos que os P_n, por forca de suas definicoes, sao disjuntos 2 a 2 e que P =
Uniao (n= 0, oo) P_n. Assim, P eh dado por uma uniao enumeravel de conjuntos
enumeraveis, o que implica que seja enumeravel.
Seja A o conjunto dos numeros algebricos. A cada elemento P_i de P, acima
definido, corresponde um conjunto finito R_i, composto pelas suas raizes,
incluindo as complexas nao reais. Todo elemento de A eh raiz de algum P_i e,
portanto, pertence ao correspondente R_i. Logo A esta contido em Uniao (i=1,
oo) P_i (na realidade, existe igualdade). Como cada R_i é finito e a colecao
{R_i} eh enumeravel, segue-se que a uniao dos R_i e, portanto, A - sao
enumeraveis.
Observe que nosso A inclui os complexos algebricos. Eh imediato que isto
implica que os reais algebricos sejam enumeraveis.
Sendo T o conjunto dos trancendentes, temos que R = A Uniao T. Sabemos que R
nao eh enumeravel e vimos que T eh enumeravel. Para que esta equacao de
conjuntos possa ser verdadeira, segue-se que T é nao enumeravel e, portanto,
nao vazio. Logo, existem numeros transcendentes. Alias. hah "mais"
transcendentes do que algebricos e mesmo do que iracionais, post T tem
cardinalidade maior do que a dos algebricos e que a dos racionais.
Artur
[Artur Costa Steiner]
-----Mensagem original-----
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de André Rodrigues da Cruz
Enviada em: segunda-feira, 2 de abril de 2007 19:49
Para: [email protected]
Assunto: [obm-l] Análise
Olá, será que alguém poderia me ajudar com esses tres problemas:
1) Dados a, b em R+ com a^2 < 2 < b^2, tome x, y em R+ tais que x < 1, x < (2 -
a^2)/(2a + 1) e y < (b^2 - 2)/2b. Prove que (a + x)^2 < 2 < (b - y)^2 e (b - y)
> 0.
Em seguida, considere o conjunto limitado X = {a pertencente a R+; a^2 < 2} e
conclua que o número real c = sup X cumpre c^2 = 2.
2) Prove que o conjunto dos polinômios com coeficientes inteiros é enumerável.
Um número real chama-se algébrico quando é raiz de um polinômio com
coeficientes inteiros. Prove que o conjunto dos números algébricos é
enumerável. Um número real chama-se transcendente quando não é algébrico. Prove
que existem números transcendentes.
3) Prove que um conjunto I contido em R é um intervalo se, e somente se, a < x<
b, a, b pertencentes a I implica x pertencente a I.
Aguardo sugestões!
Abraços!
André RC
