Ola, conheco uma outra generalizacao, utilizando diferencas finitas. Dado f(x), somatório de 0 até n de f(x) = g(n+1) - g(0) onde g(x) é a integral finita de f(x).. isto é: g(x) eh a funcao cuja diferenca finita eh f(x)... como f(x) = x^k, temos que encontrar a integral finita de x^k
nao estou em casa, mas lembro que tenho um livro que apresenta essa integral finita em funcao de um integral da funcao gamma... deste modo, estaria resolvido o problema de outro modo abracos, Salhab On 4/2/07, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
O processo usual eh esse mesmo. Podemos provar que a soma das k-esimas potências dos n primeiros numeros naturais (como, na realidade, a da soma das k-esimas potencias dos n primeiros termos de uma PA) eh um polinomio do grau k + 1 em n. Assim, podemos usar este fato e o metodo dos coeficientes a determinar para achar os coeficientes do polinomio. Mesmo assim eh trabalhoso. O coeficiente do termo lider eh sempre 1/(k+1). Artur . -----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de J. Renan Enviada em: segunda-feira, 2 de abril de 2007 14:43 Para: [email protected] Assunto: [obm-l] Soma das k-ésimas potências dos n primeiros naturais Olá à todos! Alguém conhece uma fórmula fechada para (Sum de i=1,n) i^k? Para k = 0, temos S = n Para k =1, temos uma PA S = (1+ n)*n/2 Para k=2 pensei no seguinte.. (1-1)^3 = 1^3 - 3*1^2 + 3*1 - 1 (2-1)^3 = 2^3 -3*2^3 + 3*2 -1 ... (n-1)^3 = n^3 - 3*n^2 + 3*n -1 Somando essas n equações percebemos que o primeiro termo das. eq. da direita sempre cancelam o primeiro termo da próxima equação: 0 = -3(S) + 3(Spa) - n + n^3 Desenvolvendo o raciocínio chegamos na conhecida fórmula S = (n+1)(2n+1)*n/6 Para k=3 se ao invés de utilizarmos (n-1)^3, usarmos (n-1)^4 também chegamos na expressão correspondente (S = [(1+n)*n/2]^2) Dúvida: Podemos sempre utilizar uma diferença entre n e 1 e elevar a k+1 afim de achar o somatório das potências dos n naturais elevados a k? Isso me pareceu bastante intuitivo, mas o problema é que a sequência ficaria em função de S(k-1). Como tirar essa recursividade? -- Abraços, J.Renan
========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
