Vlw Claudio, vou pensar!
----- Mensagem original ---- De: claudio.buffara <[EMAIL PROTECTED]> Para: obm-l <[email protected]> Enviadas: Terça-feira, 10 de Abril de 2007 7:50:54 Assunto: Re:Res: [obm-l] SEQUENCIAS II b_k -> 0 significa que lim(k -> infinito) b_k = 0 Isso quer dizer que, dado eps > 0, existe n_1 em N (conjunto dos naturais) tal que: se k > n_1 entao |b_k - 0| = |b_k| < eps. Em portugues: dizer que b_k tende a 0 significa dizer que, para todos os k suficientemente grandes, b_k estarah tao proximo de zero quanto quisermos. Esta eh simplesmente a definicao de limite de uma sequencia. Que tal entrar no Google e digitar: "Cesaro sum"? De qualquer forma, a soma de Cesaro de uma sequencia (a_n) eh, por definicao, a sequencia (b_n) dada por: b_n = (a_1+a_2+...+a_n)/n. Eu disse que eh manjadissima porque praticamente todos os livros de analise demonstram ou pedem, como exercicio, a demonstracao do resultado abaixo: se a_n -> a, entao b_n -> a. Tambem pode acontecer de (a_n) divergir mas (b_n) convergir. Voce consegue dar um exemplo disso? []s, Claudio. ---------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [email protected] Cópia: Data: Mon, 9 Apr 2007 12:17:33 -0700 (PDT) Assunto: Res: [obm-l] SEQUENCIAS II > Ola Claudio, > não entendi "b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| < eps/2." > o que é n_1? pq vc tomou k>n_1? pq |b_k|<eps/2? > Nao encontrei nada sobre essa soma de Cesaro. > vlw. > > > ----- Mensagem original ---- > De: claudio.buffara <[EMAIL PROTECTED]> > Para: obm-l <[email protected]> > Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28 > Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II > > > ---------- Cabeçalho original ----------- > > De: [EMAIL PROTECTED] > Para: [email protected] > Cópia: > Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT) > Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II > > > Suponha que a_n-->a. Mostre que : > > 1/n*sum_(k=1, n) a_k-->a. > > > > Essa eh a manjadissima soma de Cesaro. > Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k -> a, b_k -> 0. > Seja eps > 0. > b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| < eps/2. > Fixado n_1, existe n_2 > n_1 tal que k > n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k < > eps/2. > Mas entao, tomando k > n_2, teremos: > |b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k <= > |b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k < > eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k < eps/2 + eps/2 = eps. > Ou seja, (b_1+...+b_k)/k -> 0 ==> (a_1+...+a_k)/k -> a. > > > > Suponha que 0<=a_1<=a_2<=.....<=a_k. Calcule > > lim(n->oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n. > > > > Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias > dos a_i. > Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero. > Caso contrario, escreva: > a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1). > Isso implica que a_k^n <= a_1^n + ... + a_k^n <= k*a_k^n ==> > a_k <= (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) <= k^(1/n)*a_k. > Fazendo n -> infinito e usando o teorema do sanduiche, concluimos que o > limite procurado eh igual a a_k. > (alias, essa eh a razao pela qual a norma do maximo eh chamada de norma > infinito - repare que se n = 1, teremos a norma da > soma e se n = 2, a norma euclidiana usual do R^k). > > Um problema correlato eh encarar n como uma variavel real e fazer n -> 0+. > O limite nesse caso eh um pouco mais surpreendente. > > []s, > Claudio. > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > > __________________________________________________ > Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger > http://br.messenger.yahoo.com/ > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= __________________________________________________ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
