oi Ficou bem longo e o ralonso provou de um jeito bem mais curto mas fica como uma outra solução. Veja que quando o binomio (raiz(2)-1)^n for desenvolvido, para qualquer n, depois de somar os termos teremos um numero inteiro multiplicando raiz(2) e outro somado a isso. Digamos que para n=k (raiz(2)-1)^k = a*raiz(2) + b com a e b inteiros. Se fizermos m = b^2 ou m = b^2 + 1 sempre teremos raiz(m) ou raiz(m-1) um inteiro igual a b e m será inteiro. Logo devemos provar que escolhendo um desses valores para m sempre teremos a outra raiz (raiz(m) ou raiz(m-1), ou seja, a que não for igual a b) igual a a*raiz(2) e, nesse caso provamos que para todo n, m pode assumir valor inteiro. Vou tentar provar isso por indução:
Seja n=1. Para esse n temos b = -1 então m deve ser igual a (-1)^2 + 1 = 2 ou (-1)^2 = 1. Resovendo achamos m = 2 então provamos para n=1. Seja n=k. Então (raiz(2)-1)^k = a*raiz(2) + b. Vamos assumir por hipótese que seja verdade que fazendo m = b^2 ou m = b^2 + 1 temos a outra raiz igual a a*raiz(2). Nesse caso, se m=b^2, raiz(m) = raiz(b^2) = b e raiz(m-1) = raiz(b^2 - 1) que supomos ser igual a a*raiz(2). Da mesma forma se m=b^2 + 1, raiz(m-1) = raiz(b^2+1-1) = b e raiz(m) = raiz (b^2 + 1) que supomos ser igual a a*raiz(2). Logo: (b^2 + 1) = a*raiz(2) ou (b^2 - 1) = a*raiz(2). Seja n=k+1. Chamando os coeficientes de c e d temos: (raiz(2)-1)^(k+1) = (raiz(2)-1)*(a*raiz(2) + b) = raiz(2)*(b-a) + 2a - b Fazemos c = b -a e d = 2a - b. Devemos provar que se m = d^2 ou m = d^2 + 1 a outra raiz (que não for igual a d) deve ser c*raiz(2). Vamos testar primeiro com m = d^2. Temos que mostrar que raiz(m-1) = raiz(d^2 -1) = c*raiz(2) ==> (raiz(d^2-1))^2 = 2c^2 ==> (2a -b)^2 - 1 = 2(b-a)^2 ==> 4a^2 - 4ab + b^2 - 1 = 2b^2 - 4ab + 2a^2 ==> 2a^2 = b^2 + 1 Mas tomamos por hipótese que raiz (b^2 + 1) = a*raiz(2) ==> b^2 + 1 = 2a^2. Portanto provamos para m=d^2. Agora é só repetir para n = d^2 + 1 pra completar a demonstração. ----- Original Message ----- From: Artur Costa Steiner To: [email protected] Sent: Wednesday, May 02, 2007 1:27 PM Subject: [obm-l] Teoria dos números Este problema parece interessante. Talvez tenha alguma solucao facil, mas nao vi. Mostre que, para todo inteiro positivo n, (raiz(2) - 1)^n = raiz(m) - raiz(m -1), sendo m>=1 um inteiro. Artur
